T=2*пи*sqrt(l/g), l=T^2*g/(4*пи^2)

l1/l2=(T1^2*g/(4*пи^2))/(T2^2*g/(4*пи^2))=T1^2/T2^2

T=t/N

T1=t/10, T2=t/30

l1/l2=t^2*900/(100*t^2)=9

Дано:

t1=t2=t;

N1=10 колебаний

N2=30 колебаний

l1/l2=?

______

Решение:

Зная две формулы периода колебаний, можно решить данную задачу. Для начала запишем "общую" формулу колебаний.

Т. К. Период колебания это отношения времени колебаний к их числу, получим формулу:(Расписываем для двух случаев).

\( T=\frac{t}{N} \) (1)

\( T1=\frac{t}{N1};\\ T2=\frac{t}{N2};\\ \)

В тоже время, для периода математического маятника характерна формула: (Расписываем для двух случаев).

\( T=2\pi* \sqrt\frac{l}{g};\\ T1=2\pi* \sqrt\frac{l1}{g};\\ T2=2\pi* \sqrt\frac{l2}{g};\\ \)

Преобразуем, получаем:

\( T=2\pi* \sqrt\frac{l}{g};\\ T^2*g=4\pi^2*l;\\ l=\frac{T^2*g}{4pi^2};\\ \)

\( l1=\frac{T1^2*g}{4pi^2};\\ l2=\frac{T2^2*g}{4pi^2};\\ \frac{l1}{l2}=\frac{T1^2*g}{4pi^2}:\frac{T2^2*g}{4pi^2};\\ \frac{l1}{l2}=\frac{T1^2}{T2^2};\\ \) (2)

Далее, подставляя формулу (1) для двух случаев в (2), получаем:

\( \frac{l1}{l2}=\frac{t^2}{N1^2}:\frac{t^2}{N2^2};\\ \frac{l1}{l2}=\frac{N2^2}{N1^2};\\ \)

Подставляем наши значения, получаем:

l1/l2=N2^2/N1^2=(30/10)^2=3^2=9 раз.   l1=9l2.

Ответ: l1=9l2.