Дано: \( T_{1}=400 \) K
\( P_{1}=P_{2} \)
\( P_{1}=3P_{3} \)
\( \nu=2 \) моль
Какое количество теплоты \( Q \) сообщено газу при нагревании?
Решение. Газ получает количество теплоты \( Q \) на участке 12, т. К. При этом газ совершает работу \( A \) над внешними телами а его внутренняя энергия увеличивается на величину \( \Delta U \). Воспользуемся первым началом термодинамики:
\( Q=A+\Delta U \)-(1)
Поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то ее изменение на участке 12 равно:
\( \Delta U=\frac{3}{2}\nu*R*(T_{2}-T_{1}) \)-(2)
При этом работа газа равна:
\( A=P_{1}*(V_{2}-V_{1}) \)-(3)
Из уравнения состояния идеального газа при изобарном процессе следует:
\( P_{1}*(V_{2}-V_{1})=\nu*R*(T_{2}-T_{1}) \)-(4)
Подставим в равенство (3) вместо его правой части правую часть уравнения (4), получим:
\( A=\nu*R*(T_{2}-T_{1}) \)-(5)
Подставим в (1) вместо \( A \) и \( \Delta U \) соотвественно правые части выражений (5) и (2), получим:
\( Q=\nu*R*(T_{2}-T_{1})+\frac{3}{2}\nu*R*(T_{2}-T_{1}) \), приведя подобные в правой части последнего равенства, получим
\( Q=\frac{5}{2}\nu*R*(T_{2}-T_{1}) \)-(6)
Процесс 12 подчиняется закону Гей-Люссака, поэтому
\( \frac{T_{2}}{V_{2}}=\frac{T_{1}}{V_{1}} \), отсюда выразим \( T_{2} \)
\( T_{2}=\frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2} \)-(7)
Подставим в (6) вместо \( T_{2} \) выражение (7), получим:
\( Q=\frac{5}{2}\nu*R*(\frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2}-T_{1}) \), или
\( Q=\frac{5}{2}\nu*R*T_{1}(\frac{V_{2}}{V_{1}}-1) \)-(8)
Процесс 23 подчиняется закону Шарля, поэтому
\( \frac{P_{2}}{T_{2}}=\frac{P_{3}}{T_{3}} \)-(9)
но по условию \( T_{3}=T_{1} \), \( P_{2}=P_{1] \), \( P_{1}=3P_{3} \) Тогда (9) примет вид:
\( \frac{3P_{3}}{T_{2}}=\frac{P_{3}}{T_{1}} \), отсюда
\( T_{2}=3T_{1} \)-(10)
Подставим в (7) вместо \( T_{2} \) выражение (10), получим
\( 3T_{1}=\frac{T_{1}}{V_{1}}*V_{2} \), отсюда
\( \frac{V_{2}}{V_{1}}=3 \)-(11)
И, наконец, подставим в (8) вместо дроби \( \frac{V_{2}}{V_{1}} \) ее значение (выражение (11)), получим
\( Q=\frac{5}{2}\nu*R*T_{1}(3-1)=5*\nu*R*T_{1} \)
Расчет:
\( Q=5*\nu*R*T_{1}=5*2*8,314*400=33256 \) Дж