Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, 10 м/с. Спустя 0,5с скорость камня стала равной 7 м/с. На какую максимальную высоту над первоначальным уровнем поднимается камень?

Дано
Vo = 10 м/c
t1 = 0,5 c
V1 =7 м/c
Найти h
Решение
Разложим скорость V на вертикальную Vy и горизнтальную Vx составляющие.
Где Vx=V*cos(a);  Vy=V*sin(a)
V=корень(Vx^2+Vy^2)
где a-угол наклона скорости к горизонту.
Запишемуравнения движения камня
Горизонтальная составляющая скорости постоянна во времени
Vx =Vo*cos(a) -const
Sx=Vx*t
Vy=Voy-gt =Vo*sin(a)-gt
Sy =Voy*t -gt^2/2 =Vo*sin(a)*t - gt^2/2
По заданию при t1=0,5 c. V1=7м/с
V1y=Vo*sin(a)-gt1
Подставим это выражения в формулу полной скорости
V1=корень(V1x^2+V1y^2) = корень((Vo*cos(a))^2 +(Vo*sin(a)-gt1)^2)=
=корень(Vo^2*cos^2(a)  + Vo^2*sin^2(a) - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2)=
=корень(Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2)
   корень(Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2) =V1
Возведем обе части в квадрат и найдем sin(a)
    Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2 = V1^2
      2Vo*g*t1*sin(a) = Vo^2 + g^2*t1^2 - V1^2
        sin(a) =(Vo^2+(g*t1)^2-V1^2)/(2Vo*g*t1)
На самой максимальной высоте вертикальная составляющая скорости равна нулю
Vy=0  или Vo*sin(a) -gt =0
                 t = Vo*sin(a)/g
Максимальная высота подъема составит
 h = Vo*sin(a)t - gt^2/2 = Vo^2*sin^2(a)/g - g*Vo^2*sin^2(a)/(2g^2) =
 = Vo^2*sin^2(a)/g - Vo^2*sin^2(a)/(2g) = Vo^2*sin^2(a)/(2g)
Подставим в формулу выражение для sin(a)
h= Vo^2*sin^2(a)/(2g) = Vo^2*(Vo^2+(g*t1)^2-V1^2)^2/(2Vo*g*t1)^2/(2g)=
=(Vo^2+(g*t1)^2-V1^2)^2/(g*t1)^2/(8g) =(1/(8g)) ((Vo^2-V1^2)/(g*t1) +gt1)^2
Подставим числовые значения и найдем h
h =(1/(8*9,81))((10^2-7^2)/(9,81*0,5)+9,81*0,5)^2 =2,98 м
Если принять что g=10 м/с^2
h =(1/(8*10))((10^2-7^2)/(10*0,5)+10*0,5)^2 =2,888 м
Ответ : 2,98 м

Тело массой m = 1 кг брошено под углом к горизонту. За все время полета его импульс изменился на Δp = 20 кг•м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите наибольшую высоту подъема тела.

T-всё время полёта
\( \frac{t}{2} - \)-время подъёма на максимальную высоту
\( h max= \frac{g( \frac{t}{2} )^2}{2} = \frac{gt^2}{8} \)
v=vo-gt
gt=(v-vo)
mgt=m(v-vo)=mv-mvo=Δp
m²g²t²=(Δp)²
t²=(Δp)²/g²m²
h max=g(Δp)²/8g²m²
h max=(Δp)²/8gm²
h max=400/8*1*9.8=5.1 м
Ответ: максимальная высота подъёма 5.1 метра.

Мяч бросили с горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту. Минимальная скорость мяча во время полета была равна 6м/с, а максимальная 12м/с. На какую максимальную высоту поднялся мяч?

У начального вектора скорости V мяча две составляющие: горизонтальная Vx и вертикальная Vy
V^2=Vx^2+Vy^2
По условию V=12 м/с, Vx=6 м/с (так как скорость мяча минимальна, когда он поднимется на максимальную высоту, при этом Vy=0)
найдем Vy
Vy=(V^2-Vx^2)^1/2=(12^2-6^2)^1/2=10,4 м/с
Время за которое мяч достигнет максимальной высоты можно узнать разделив Vy на ускорение свободного падения g, так как по истечении этого времени Vy=0
t=Vy/g=10,4/9,8=1,06 с
Для определения высоты воспользуемся формулой:
h=gt^2/2=9,8*(1,06)^2/2=5,5 м

Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту. На какую максимальную высоту поднимется камень, если ровно через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально?

Формулировка "если ровно через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально" означает, что камень достиг за 1 с максимальной высоты. Значит, после этого он пролетит еще 1 с до встречи с землей. Т. Е. Получается, что камень как бы бросили горизантально, с ненулевой начальной скоростью, при это время его падения равно 1 с. Следовательно, 
\( H= \frac{gt^2}{2} = \frac{10}{2} =5 \) м

Тело кинули с башни со скоростью 10 м с под углом к горизонту. В момент удара тела об землю скорость тела была 20 м с. Найти высоту башни. Сопротивлением воздуха пренебречь. g = 10

Тело, находясь на башне обладает потенциальной энергией П = mgh и кинетической энергией движения К₁ = mv₁²/2.
В момент удара о землю тело обладает кинетической энергией К₂ = mv₂²/2.
Согласно закону сохранения механической энергии имеем:
mgh + mv₁²/2 = mv₂²/2
v₂²/2 - v₁²/2 = gh
(v₂² - v₁²) / (2g) = h
h = ((20 м/с)² - (10 м/с)²) / (2*10 м/с²) = 15 м