Из закона преломления

Sin α₁ = n Sin β₁ (n - коэффициент преломления)

Sin α₂ = n Sin β₂

Из геометрических вычислений:

180 - φ = 360 - α₁ - α₂ - (180 - γ) ⇒ φ = α₁ + α₂ - γ

γ = β₁ + β₂

С учетом того, что всегда присутствуют аберрации, нужно их минимизировать (между φ и α зависимость нелинейная). Т. Е. Зависимость φ от α должна быть минимальной. Приравняем производную φ к нулю:

dφ = dα₁ + dα₂ ⇒ dα₁ = -dα₂

Дифференцируем остальные уравнения:

dβ₁ + dβ₂ = 0

Cos α₁ dα₁ = n Cos β₁ dβ₁

Cos α₂ dα₂ = n Cos β₂ dβ₂

откуда получим следующее:

\( \frac{d\alpha_{2}}{d\alpha_{1}}=-\frac{Cos\alpha_{1}Cos\beta_{2}}{Cos\alpha_{2}Cos\beta_{1}}= -1 \)

\( \frac{Cos\alpha_1}{Cos\beta_1}=\frac{Cos\alpha_2}{Cos\beta_2} \)

Возводим в квадрат обе части и заменив углы β на α, пользуясь законом преломления, получим:

\( \frac{Cos^2\alpha_1}{n^2 - Sin^2\alpha_1}=\frac{Cos^2\alpha_2}{n^2 - Sin^2\alpha_2} \)

Искомое равенство удовлетворяется при α₁ = α₂, что соответствует минимуму угла φ. Из α₁ = α₂ следует, что β₁ = β₂. Таким образом, падающий и выходящий лучи симметричны по отношению к граням призмы.

Симметричный ход луча соответствует минимуму угла отклонения.

Прилагаю рисунок к ходу мыслей

http://s44.radikal.ru/i103/1207/fa/df6a5763cc0d.jpg