Вычислите первую космическую скорость у поверхности Луны. Радиус луны равен 1760 км, ускорение свободного падения на поверхности луны равно 1.6 м/с
\( v= \sqrt{G*M/R} \)\( m\frac{v_1^2}{R}=G\frac{Mm}{R^2}; \)
\( v_1=\sqrt{G\frac{M}{R}}; \)
где m — масса объекта, M — масса планеты, G — гравитационная постоянная (6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2), v_1\,\!— первая космическая скорость, R — радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли M = 5,97·1024 кг, R = 6 371 км), найдем
\( v_1\approx\,\! \)
7,9 км/с
Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения — так как g = GM/R², то
\( v1=\sqrt{gR};. \)
Космические скорости могут быть вычислены и для поверхности других космических тел. Например на Луне v1 = 1,680 км/с
Определите первую космическую скорость на высоте h над поверхностью планеты радиус которой r а ускорение свободного падения g
Чтобы тело двигалось по окружности на него должно действовать центростремительное ускорение. Величина этого ускорения определяется выражением a = V²/R; здесь V – круговая (линейная) скорость движения тела, м/с; R – радиус окружности, м. Первая космическая скорость это такая минимальная скорость, при которой тело может вращаться вокруг планеты по круговой орбите сколь угодно долго не падая на планету (конечно, при отсутствии сил, тормозящих тело). При движении тела на высоте h центростремительным ускорением является ускорение свободного падения на этой высоте. Поскольку в соответствии с Законом Всемирного тяготения сила взаимодействия между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния между этими телами, то и ускорение сводного падения на различных высотах будет соответствовать этому закону. Таким образом, ускорение свободного падения на поверхности планеты (gп) будет больше ускорения свободного падения (gh) на высоте h во столько же раз, во сколько квадрат расстояния от этого тела до центра планеты (R + h ) больше квадрата радиуса планеты (R). Т. Е. gп/gh = {(R + h )/R}². Отсюда gh = gп*{R/(R+h)}². Поскольку при движении тела на высоте h центростремительным ускорением будет являться ускорение свободного падения на этой же высоте, то можно записать уравнение gh = V²/(R+h). Или gп*{R/(R+h)}² = V²/(R+h). Отсюда V = R*√{gп/(R + h)}.В конце хочу немного пояснить первую космическую скорость. Мое определение этой скорости, данное выше, «притянуто» к условию задачи и является не совсем корректным. Строго говоря, первая космическая скорость это такая минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, находящемуся на планете, что бы вывести это тело на круговую, стационарную орбиту вокруг планеты. Таким образом, первая космическая скорость не зависит от высоты полета. А зависит только от ускорения свободного падения на поверхности планеты и от радиуса планеты. Скорость, зависящая от высоты полета, называется не первой космической, а орбитальной (или круговой) скоростью на какой-либо высоте полета. Так, например, для Земли можно найти по выведенной выше формуле первую космическую скорость, если принять h = 0. Тогда V = R*√(gп/R)= 6371000*√(9,81/6371000) = 7905,7 м/с С такой скоростью движутся вокруг Земли низколетящие спутники на высотах 250 – 500 км. А геостационарные спутники, которые неподвижно «вися» над поверхностью Земли на высоте около 36000 км, совершают полный оборот вокруг Земли за 24 часа, движутся вокруг Земли с орбитальной (круговой) скоростью чуть более 3 км/с. Но, повторюсь, эта скорость не является первой космической на данной высоте, а является орбитальной или круговой для высоты 36000км.
Определить первую космическую скорость на планете Плутон. Радиус Плутона 1200 км. Ускорение свободного падения на Плутоне 0,6 м/с2.
Для достижения 1ой космической скорости, нужно достигнуть такого нормального ускорения, чтобы сила притяжения и сила инерции этого нормального ускорения были равны, то есть минимальную силу отдаления от планеты => ускорение тела равно 0ma=0=Fпритяжения-Fинерции
\( \frac{mV^2}{R}=G\frac{mM}{R^2}; V=\sqrt{\frac{GM}{R}} \)
Для нахождения GM поработаем с ускорением свободного падения на данной планете:
\( mg=G\frac{mM}{R^2}; GM=gR^2 \)
Подставив:
\( V=\sqrt{\frac{gR^2}{R}}=\sqrt{gR}=\sqrt{0,6*1200*1000}~=848,53 \)
Ответ: 848,53 м/с или 0,85 км/с
*Всегда проверяйте единицы измерения конечного измерения, подставив вместо переменных их единицы измерения, например m*g приобретёт вид кг*м/с^2. Например, в вашем примере V^2=gR. Проверяем: м^2/c^2 = м/c^2*м=м^2/c^2
Найдите модуль первой космической скорости для Луны, если радиус Луны в k = 3,7 раза меньше радиуса Земли, а модуль ускорения свободного падения у поверхности Луны в n = 6,0 раза меньше модуля ускорения свободного падения у поверхности Земли. Модуль первой космической скорости для Земли υ = 7,9 км/с.
Сила тяжести: F=mg, где g - ускорение свободного падения (не важно на какой планете), m - масса тела.Сила тяжести - частный случай силы тяготения, поэтому:
F=G*m*M/R^2 = mg, откуда g = G*M/R^2, где M и R масса и радиус планеты соответственно (последняя формула уже должна быть в учебнике по физике, тогда все, что записано выше можно не писать в решении).
Считаем ускорение свободного падения на поверхности Земли известным и равным g. Пусть M и R - масса и радиус Земли, тогда масса и радиус Луны составят M/81 и R/3,7. Ускорение св. Падения на поверхности Луны составит:
g(Луны) = G*M/81/(R/3,7)^2 = 3,7^2/81*G*M/R^2 = 0,169*g.
Принимая g=9,8 м/с^2, найдем g(Луны) = 0,169*9,8 =. М/с^2. Получится что-то типа 1,66 м/с^2
Какова первая космическая скорость вблизи поверхности Луны. Если её радиус 1780 км, а ускорение свободного падения у её поверхности в 6 раз меньше, чем у поверхности Земли?
Дано:R=1780 км = 178*10⁴ м
g=10 м/с²
g (на Луне) = g/6
v=?
Решение:
первая космическая скорость - максимальная скорость кругового движения спутника, на высоте h=0 от поверхности, ускорение центростремительное a=v²/R
2 закон Ньютона ma=Fтяж mv²/R=G*M*m/R² отсюда v=√G*M/R (1)
также из второго закона Ньютона ускорение свободного падения на любой планете равно g=G*M/R², отсюда G*M=g*R² подставим в (1) :
v=√g*R²/R = √g*R
v=√10*178*10⁴/6=1722,4 (м/с) = 1,72 (км/с)
Ответ: v= 1,72 км/с