Однородный тонкий стержень массы m и длины l может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку, которая делит длину стержня в отношении 1:3. Стержень отклонили от положения равновесия на угол α и отпустили. Чему равен и как направлен момент силы тяжести (M) относительно оси в начальный момент времени

Момент силы тяжести М есть произведение силы тяжести F на плечо S.
M = F * S.
Сила тяжести F равна m*g.
F = m * g
Плечо S есть проекция расстояния от центра масс стержня до точки вращения на ось, перпендикулярную направлению действия силы F (то есть на горизонтальное направление).
Расстояние от центра масс стержня до точки подвеса есть 1/4*L - то есть четверть длины стержня.
Проекция этого расстояния на горизонтальную ось есть расстояние, умноженное на синус угла альфа.
Итого, S = 1/4 * L * sin(A).
Собирая формулу М, получим:
M = 1/4 * m * g * L * sin(A).
Поскольку момент силы считается векторным произведением векторов силы и радиус-вектора центра масс, то направление момента силы будет перпендикулярно плоскости вращения стержня. В общем, если смотришь на плоскость вращения стержня, и он отклонён  вправо, то направление момента силы будет "от себя", а если влево, то "на себя".
Думаю что так.

Почему ручку двери крепят возможно дальше от дверных петель?
а) для увеличения момента силы
б) для уменьшения момента силы
в) для красоты

Момент силы - это произведение силы на плечо => M=F×L => если прикрепить ручку близко к петлям, то надо будет затратить много силы, для того, что бы ее открыть, а если дверная ручка будет дальше, то и силы будет прикладываться меньше. Проведите дома эксперимент: есть дверь без защелки? Если есть, то попытайся открыть ее со стороны ручки и с другой. С какой легче?

К рычагу приложены силы, модули которых F1=25Н и F2=75Н. Под их действием он находится в равновесии. Плечо силы F1 равно 12см. Определите моменты M1 и M2 этих сил

L₁ =?                                       L₂=12cм = 0,12м
_____________________________
↓                                      Δ                ↓
F₁=25H                                        F₂=75H
Решение:
F₁L₁=F₂L₂
L₁=F₂L₂/F₁
L₁=75Н·12см / 25Н = 36см=0,36м
M₁=M₂ (правило моментов)
M₁=F₁L₁=25Н·0,36м = 9Н·м
M₂=F₂L₂=75Н·0,12м = 9Н·м

Однородный куб опирается на пол и стенку. И дан вектор силы. Надо найти плечо силы.

Итак, у нас есть две точки опоры, В1-стена, В2-пол, напишем силы действующие на куб: 1) Сила реакции опоры со стороны стены, она направлена перпендикулярно ей в сторону кубика; 2) Сила реакции опоры со стороны пола, она направлена перпендикулярно полу в сторону кубика; 3) Вес кубика, он направлен из центра кубика В2 перпендикулярно поверхности; 4) (если в условии не сказано, то не надо учитывать) Силы трения со стороны стены и пола, они направлены соответственно вверх из точки опоры и вправо на полу. 5) Некая искомая сила F; Запишем уравнения моментов сил для этих точек В1: В1: mga корень из 2/2=Fa корень из 2/2+N2корень из 2/2 Отсюда: mg=N2+F; Но, опираясь на второй закон Ньютона, можно сказать, что N2=F 2F=mg; F=mg/2

Закон вращения сплошного шара массой 500 г и радиусом 3,5 см имеет вид φ=6-4t-1,5t2. Определить тормозящий момент силы.

Угловая скорость шара ω=dφ/dt=-4-3*t рад/с. По второму закону динамики вращательного движения, под действием только тормозящей силы F уравнение движения имеет вид F*R=J*dω/dt, где J=2*m*R²/5 - момент инерции сплошного шара. Подставляя данные из условия задачи, находим J=2*0,5*(0,035)²/5=0,000245 кг*м². Производная dω/dt=ε=-3 рад/с², где ε - угловое ускорение шара.  Отсюда тормозящий момент M=F*R=J*ε=0,000245*3=0,000735 Н*м. Ответ: 0,000735 Н*м.