При достижении поршнем максимальной скорости

$Mg=P_{1}S$

$P_{1}$ - давление газа в момент достижения максимальной скорости

Для нахождения максимальной скорости распишем изменение кинетической энергии

(ее изменение - это работа всех сил, действующих на поршень)

$\frac{1}{2}Mv^2=Mg(H-H_{1})+A$

$H_{1}$ - высота поршня при достижении максимальной скорости

A - это работа газа при уменьшении объема.

Высота поршня и объем газа пропорциональны:

$\frac{H}{H_{1}}=\frac{V}{V_{1}}$

V₁ - объем в момент достижения макс. Скорости

Тогда

$\frac{1}{2}Mv^2=MgH(1-\frac{V_1}{V})+A$

Учитывая, что газ сжимается адиабатически, применяем уравнение Пуассона

$PV^k=P_1V_1^k$

k=5/3 - для одноатомного газа

$\frac{V_1}{V}=(\frac{P}{P_1})^{\frac{1}{k}}=(\frac{PS}{Mg})^\frac{1}{k}$

Работа газа при адиабатическом сжатии

$A = \frac{PV}{k-1}(1-(\frac{V}{V_1})^{k-1})=\frac{3}{2}MgH(\frac{PS}{Mg})^\frac{3}{5}(1-(\frac{Mg}{PS})^\frac{2}{5})$

Полученное подставляем в уравнение для скорости и находим ее

$v=\sqrt{2gH(1-\frac{5}{2}(\frac{PS}{Mg})^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg})}$