М=500 г= 0,5 кг; теплоемкость воды с = 4,19*10^3 Дж/кгК. Теплота (удельная) парообразования воды L = 2,256*10^6 Дж/кг. Т°0 = 20°С.
Для пара: m1 = 10 г, m2 = 100 г.
Ур-ие тепл. баланса для первой порции пара: М*с*(Т°1 - Т°0) = L* m1 + m1*c*(100° - T°1).
Оно отражает: тепло, полученное водой М, равно теплоте, отданной паром m1 при конденсации при темпер. 100°С и последующим охлаждением образовавшейся воды от 100° до общей температуры Т°1.
Выразим Т°1 из него:

Т°1 =[ Lm1 + c(MT°o + 100°m1)]/(c*(M + m1) = [2,256*10^6*0,01 + 4,19*10^3*(0,5*20 + 100*0,010)]/(4,19*10^3*0,510) = 32,1°. Суммарная масса стала 110 г.
Видим, что 10 грамм пара нагрели смесь на 12 градусов. Ясно, что 100 г должны бы были нагреть ее выше 100°С.
Тут логично сосчитать сначала, сколько теплоты потребует масса М для нагрева до 100°С, потом сосчитать, сколько граммов (m) пара при100° нужно для этого сконденсировать. А именно:
с*М*(100° - Т°о) = L*m.
m = с*М*(100° - Т°о) /L = 4,19*10^3*0,5*80/(2,256*10^6) = 0,074 кг = 74 г.
В итоге, в этом случае масса станет 500+74=574 г с температурой 100°С. Остальной пар "улетучится".