Шар в одном случае соскальзывает без вращения, в другом — скатывается с наклонной плоскости с высоты 2 м. Определить значения скорости в конце спуска в двух случаях. Трением пренебречь.

В обоих случаях потенциальная энергия шара будет переходить в кинетическую энергию его движения. В первом случае всё просто:
mgh = mv²/2 ⇒ v = √(2gh), где m - масса шара, g - ускорение свободного падения, h - высота, с которой скатился шар, ну а v - скорость шара.

Во втором случае кинетическая энергия шара будет складываться из энергии его поступательного движения и энергии его вращательного движения.
T = Eпост + Eвращ
Кинетическую энергию вращательного движения тела рассчитывают по формуле:
Eвращ = Iω² / 2 
Здесь ω - угловая частота вращения тела, а I - момент инерции тела. Для шара момент инерции определяется по формуле:
I = 2mr² / 5 где m - масса шара, r - его радиус.
Теперь надо учесть, что ω = v / r, где v - скорость поступательного движения шара.
Тогда, подставив весь этот винегрет в формулу получим:
Eвращ = (2mr² / 5) · (v / r)² : 2 = mv² / 5
Энергия поступательного движения определяется просто:
Eпост = mv² / 2
Общая кинетическая энергия будет равна:
T = mv² / 2 + mv²/5 = 0,7mv²
Далее из условия перехода потенциальной энергии в кинетическую получаем:
mgh = 0,7mv² ⇒ v = √(gh / 0,7)

Ответ:
1) v = √(2gh)
2) v = √(gh / 0,7)

Сплошной шар скатывается по наклонной плоскости, длина которой 1 м и угол наклона 30 градусов. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Трение шара о плоскость не учитывается.

Использовал:
Второй закон Ньютона и
Формула РУД
\( S= \frac{ V^{2}-Vo^{2} }{2a} \)
где:
V - конечная скорость
Vo - начальная скорость 
а - ускорение 
g - ускорение свободного падения 
S - длинна наклонной плоскости

Обруч массой 1,5 кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости высотой 350 мм. Какую скорость будет иметь его центр инерции у подножия наклонной плоскости?

Решение :
Кинетическая энергия качения обруча Екк = m * Vo^2 / 2
Момент инерции обруча J = m * R^2
Скорость вращения ( радиан в секунду ) W = Vo / R
Кинетическая энергия вращения обруча Екв = J * W^2 / 2 = m*R^2 * W^2 / 2 = m * R^2 * ( Vo / R )^2 / 2 =
= m * R^2 * Vo^2 / R^2 / 2 = m * Vo^2 / 2
Общая кинетическая энергия Ек = Екк + Екв = m * Vo^2 / 2 + m * Vo^2 / 2 = m * Vo^2
При вкатывании обруча вниз потенциальная  энергия превращается в кинетическую
m * Vo^2 = m * g * h
v=  √g*h 
где h=0,35м
Средняя скорость составляет v=√g*h/2, следовательно при длине наклонной плоскости, равной, обруч будет скатываться с неё в течение времени:
v=√g*h/2=1,3
Ответ : 1,3

Сплошной однородный диск скатывается без скольжения с наклонной плоскости с углом при основании. Определить линейное ускорение центра диска

При скатывании диска массой m с с высоты h его потенциальная энергия mgh преобразовывается в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения: mgh=mv^2/2+Jw^2/2, где J - момент инерции диска.
Длина наклонной плоскости l связана с её высотой h соотношением l=h/sin(a), линейная скорость v связана с угловой скоростью w соотношением v=wR, где R - радиус диска.
Тогда mglsin(a)=v^2/2*(m+J/R^2). Так как движение тела происходит лишь под действием силы тяжести, то оно равноускоренное. Тогда v=at и l=at^2/2. Отсюда ускорение a=mgsin(a)/(m+J/R^2). Момент инерции диска J=mR^2/2. Тогда ускорение a=mgsin(a)/(3m/2)=2gsin(a)/3

Однородный шар массой 440 г скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол 32 градуса с горизонтом. Чему равна сила трения сцепления шара и плоскости?

Не очень ясно что имеется в виду под термином "сила трения сцепления". Обычно бывает просто сила трения. Можно ещё как бы сказать качения либо скольжения. В данном случае имеем качение.
Ну тут как тебе сказать. Считается, что при движении тела сила трения - это произведение силы реакции опоры на коэффициент трения.
В данном случае сила реакции наклонной плоскости на шар будет
N = mg*cos(a) = 0,44 * 10 * cos(32) = примерно 3,73 H.
А вот как быть с коэффициентом трения (mu) - это непонятно. В условии нет данных, из которых можно вывести коэффициент трения. Либо, например, нужно знать ускорение шара, плюс его диаметр, или ещё какой-нибудь намёк. Например, хотя бы материал шара и материал наклонной плоскости. Без таких зацепок можно только сказать, что сила трения будет такой:
Fтр = N * mu = 3,73 * mu     (это получается Ньютонов).
а вот коэффициент трения mu - бери откуда хошь :(