При достижении поршнем максимальной скорости
\( Mg=P_{1}S \)
\( P_{1} \) - давление газа в момент достижения максимальной скорости
Для нахождения максимальной скорости распишем изменение кинетической энергии
(ее изменение - это работа всех сил, действующих на поршень)
\( \frac{1}{2}Mv^2=Mg(H-H_{1})+A \)
\( H_{1} \) - высота поршня при достижении максимальной скорости
A - это работа газа при уменьшении объема.
Высота поршня и объем газа пропорциональны:
\( \frac{H}{H_{1}}=\frac{V}{V_{1}} \)
V₁ - объем в момент достижения макс. Скорости
Тогда
\( \frac{1}{2}Mv^2=MgH(1-\frac{V_1}{V})+A \)
Учитывая, что газ сжимается адиабатически, применяем уравнение Пуассона
\( PV^k=P_1V_1^k \)
k=5/3 - для одноатомного газа
\( \frac{V_1}{V}=(\frac{P}{P_1})^{\frac{1}{k}}=(\frac{PS}{Mg})^\frac{1}{k} \)
Работа газа при адиабатическом сжатии
\( A = \frac{PV}{k-1}(1-(\frac{V}{V_1})^{k-1})=\frac{3}{2}MgH(\frac{PS}{Mg})^\frac{3}{5}(1-(\frac{Mg}{PS})^\frac{2}{5}) \)
Полученное подставляем в уравнение для скорости и находим ее
\( v=\sqrt{2gH(1-\frac{5}{2}(\frac{PS}{Mg})^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg})} \)