закон Архимеда есть следствие закона Паскаля - что жидкость (и газ) передают оказываемое на них давление по всем направлениям без изменения. Вот если взять и написать ИНТЕГРАЛ от давления жидкости по поверхности тела, то как раз и окажется, что всё, что "сбоку" (горизонтальные составляющие силы давления), уравновешивается, а то, что "сверху" и "снизу" (вертикальные составляющие), нет. И окажется этот интеграл, в полном соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса (появившейся на два века позже закона Паскаля и на пару тысячелетий позже Архимеда), весу жидкости, заключённому в объёме тела. Вот и всё.