Пусть a - ребро куба, тогда

$S_0=6a^2$

После сообщения импульса куб "сожмется" вдоль оси движения так, что он станет прямоугольным параллелепипедом с квадратным основанием с ребром a и высотой b, определяемой из условия:

$b=a\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}$

Площадь поверхности этого параллелепипеда равна

$S=2a^2+4ab$

и по условию это равно половине начальной площади, то есть

$2a^2+4ab=3a^2,\ b=\frac14a$

Подставляя это в соотношение Лоренца, получим:

$\frac14a=a\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\ \frac1{16}=1-\frac{v^2}{c^2},\ v=\frac{\sqrt{15}}4c$

Тогда импульс тела равен:

$p=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=4m_0v=\sqrt{15}m_0c$