Поскольку накал лампы не изменился, то это означает, что через нее течет ток одной и той же величины. Поскольку напряжение в нашем случае также не меняется, то это означает, что сопротивление обеих схем одинаковое.

Пусть R - сопротивление резистора, а R1 - сопротивление лампы.

R+R+R1=2R+R1 - это сопротивление первой схемы

\( R+\frac{R*R1}{R+R1} \) - это сопротивление второй схемы

Уравняем эти величины:

\( 2R+R1=R+\frac{R*R1}{R+R1} \)

\( R+R1=\frac{R*R1}{R+R1} \)

\( (R+R1)^2=R*R1 \)

\( R^2+2R*R1+R1^2=R*R1 \)

\( R1^2+R*R1+R^2=0 \)

Решением для данного квадратного уравнения будут:

\( R1_{1}=\frac{-R+\sqrt{R^2-4}}{2} \) и 

\( R1_{2}=\frac{-R-\sqrt{R^2-4}}{2} \)

Второе значение не подходит, так как оно дает отрицательное значение, а сопротивление не может быть отрицтельным.

Ответ: \( R1=\frac{-R+\sqrt{R^2-4}}{2} \)