направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает наматываться на
цилиндр. Найти время, за которое нить полностью намотается на цилиндр. Трение отсутствует.
Ответ:lo^2/2Rv
рассказать как решить)
Задача нелегкая.
Пусть в некоторый момент времени длина свободного конца нити равна х. Скорость грузика v остается перпендикулярной нити(в противном случае грузик бы ослаблял нить, либо разрывал). Поэтому сиа натяжения нити Т перпендикулярна к траектории грузика, работу не производит, а величина скорости грузика сохраняется
( v=v_0=const ).
Под действием момента силы натяжения относительно оси цилиндра ( M_T=RT ) уменьшается момент импульса грузика ( L=mvx )
( frac{dL}{dt}=-M_T ) или ( mvfrac{dx}{dt}=-RT )
d-дельта.
Подставими в это соотношение величину силы натяжения из уравнения движения ( T=ma_n=frac{mv^2}{x} ), получим уравнение ( frac{dx}{dt}=-frac{Rv}{x} ). Разделяем в нем переменные и интегрируем обе части с учетом начальных условий задачи:
( intlimits^0_l {x} , dx=-Rv_0intlimits^t_0 {} , dt )
( frac{x^2}{2}|^0_l=-Rv*(t)|^t_0 )
( 0-frac{l^2}{2}=-Rv*t )
( t=frac{l^2}{2Rv} )
откуда время движения грузика равно ( t=frac{l^2}{2Rv} )
