Клевая задача. Максимальная скорость будет в итоге складываться из вертикальной и горизонтальной компонент:
\( v= \sqrt{v_y^2+v_x^2} \)

Поскольку падение происходит в гравитационном поле, то вертикальная компонента не связана с параметрами капли и зависит только от высоты падения и напряженности поля (ускорения свободного падения, так что с ней все ясно:
\( mgh=\frac{m}{2}v_y^2 = extgreater v_y^2=2gh \)

Горизонтальная же компонента зависит от силы расталкивания двух частей одной капли. Скорость, приобретенная половинками исходной капли, полностью определит их кинетическую энергию. А по закону сохранения энергии, вся запасенная электростатическая энергия капли разделится между двумя капельками: частично станет их электростатической энергией и частично перейдет в кинетическую (по горизонтальной составляющей скорости. А значит, нам надо найти разность начальной и конечной электростатической энергии. Вот и все.

Начальная энергия капли равна \( E_0=4piepsilon_0 R\frac{phi_0^2}{2} \)

После разделения капли на две одинаковые их объемчики будут равны половине объема исходной капли, а отсюда находим их радиусы \( r \):
\( \frac{4}{3}pi R^3=2\cdot \frac{4}{3}pi r^3 \)
\( r=\frac{R}{ \sqrt[3]{2} } \)

Энергия распределится поровну, поэтому суммарная электростатическая энергия двух новых капель составит:
\( E=E_1+E_2=4piepsilon_0 r\frac{phi^2}{2}+4piepsilon_0 r\frac{phi^2}{2}=4piepsilon_0 rphi^2 \)

Потенциал маленькой капли зависит от ее заряда и радиуса. Как изменился радиус мы уже знаем, а вот заряд после разделения распределился пополам - части ведь одинаковые. Поэтому
\( phi=\frac{1}{2}\frac{R}{r}phi_0= \frac{ \sqrt[3]{2} }{2} phi_0 \)

Таким образом, кинетическая энергия, связанная с горизонтальной компонентой скорости, равна
\( E_к=\frac{m}{2}v_x^2=E_0-E=4piepsilon_0 R\frac{phi_0^2}{2}-4piepsilon_0 rphi^2=4piepsilon_0(R\frac{phi_0^2}{2}-\frac{R}{ \sqrt[3]{2} }\frac{ (\sqrt[3]{2})^2 }{4}phi_0^2) \)

\( E_0-E=4piepsilon_0phi_0^2R(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[3]{2}}{4}) \)

\( m= ho V= ho \frac{4}{3}pi R^3 \) - суммарная масса двух частей, разумеется равна массе исходной капли.

Отсюда
\( v_x^2=\frac{2}{ ho \frac{4}{3}pi R^3}4piepsilon_0phi_0^2R(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[3]{2}}{4})=\frac{6}{ ho R^2}epsilon_0phi_0^2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[3]{2}}{4}) \)

\( v_x^2=\frac{3epsilon_0phi_0^2}{ ho R^2}(1-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}) \)

Окончательно,
\( v= \sqrt{v_y^2+v_x^2} = \sqrt{2gh+\frac{3epsilon_0phi_0^2}{ ho R^2}(1-\frac{\sqrt[3]{2}}{2})} \)