1. Нет, т. К нет атмосферы

4. В теплом

2. Одинакого, оба весят по 1 кг 

Все вопросы на знание закона Архимеда. Общая формулировка такова: тело, помещенное в среду тонет, если его плотность выше плотности среды и плавает, если плотность меньше.

Итак

1. Ясно, что НЕТ, потому что плотность среды=0(вакуум), а отрицательной плотности не существует.

Однако этот ответ справедлив только для пассивного шара, если шар активен, то ответ ДА. Пример активного шара - Шар с дыркой-соплом, из которого выходит содержимое шара, создавая реактивную тягу, которая некоторое время позволит шару двигаться. В конце концов, спускаемый аппарат можно рассматривать, как воздушный шар с твердой оболочкой и автономным двигателем, делающим этот шар активным.

4. Тоже ясно, что в холодном, потому что плотность холодного воздуха выше, значит разность плотностей среды и тела выше, значит подъёмная сила выше((Pc-Pт)*V*g), значит по второму закону Ньютона ускорение выше, а это и обозначает, что "быстрее".

2. Наверное, самый сложный вопрос. И не потому, что такой уж он в самом деле сложный, а потому, что не определены основные понятия, окружающие вопрос, а от этого ответ может быть РАЗНЫЙ. Вот эти понятия

"кг" - что это в контексте вопроса, не понятно, если это МАССА, ответ один, если ВЕС в несистемной единице - ответ другой.

"легче" - подразумевает, что проводилось взвешивание и сравнивается ВЕС тел. НО условия взвешивания не описаны, если взвешивание в среде - один ответ, если в вакууме - другой, если на космическом корабле - третий(там у всех тел вес равен нулю - невесомость).

Вот эта неопределённость и не позволяет конкретно ответить на поставленный вопрос.

Вот возможные варианты ответа

1. Предположим, что кг - это масса, тогда

1.1 Если взвешивание в невесомости, то вес 1кг гвоздей=весу 1кг ваты=0.

1.2 Если взвешивание в вакууме, то  вес 1кг гвоздей=весу 1кг ваты=m*g.

1.3 Если взвешивание в среде, значит на вату и гвозди действует выталкивающая сила, зависящая от объема. В связи с тем, что плотность ваты меньше плотности железа, объём 1кг ваты будет больше объёма 1кг гвоздей, значит выталкивающая сила будет выше, то есть вес 1кг гвоздей будет больше 1кг ваты. Это ярко представимо, например, при взвешивании в среде с высокой плотностью, например, в воде, где гвозди утонут, а вата будет плавать(то есть иметь отрицательный вес).  

Можете сами пофантазировать на тему вопроса дальше, потому что расплывчатость формулировки позволяет это делать. При этом все ответы будут правильными, в зависимости от наших предположений.