Моделируем камень точечной массой (точкой). Введём систему координат на плоскости с центром в точке-камне перед моментом броска. Ось y направлена вертикально вверх, ось x — ортогональна y в плоскости движения. Моменту броска присвоим время t=0.

Запишем ускорения точки (движение в поле силы тяжести):

\( \ddot{x} = 0, \; \ddot{y} = -g \)

Интегрируя, получим:

\( \dot{x} = \int \ddot{x} dt = A \)

\( x = \int \dot{x} dt = A t + B \)

\( \dot{y} = \int \ddot{y} dt = - g \cdot t + C \)

\( y = \int \dot{y} dt = - g \cdot \frac{1}{2} t^2 + Ct + D \)

Начальные условия:

\( \dot{x}|_{t=0} = 0, \; \dot{y}|_{t=0} = v_0 \)

\( x|_{t=0} = 0, \; y}_{t=0} = 0 \)

Отсюда:

 \( A = 0, \; B = 0, \; D = 0 \)

\( C = v_0 \)

\( \dot{x} = 0 \)

\( x = 0 \)

\( \dot{y} = - g \cdot t + v_0 \)

\( y = - g \cdot \frac{1}{2} t^2 + v_0 t \)

Найдём экстремумы для \( y = - g \cdot \frac{1}{2} t^2 + v_0 t \), приравняв \( \dot{y} = 0 \):

\( - g \cdot t + v_0 = 0 \; \Rightarrow \; t^{*} = \frac{v_0}{g} \)

Поскольку \( \ddot{y} < 0 \), то полученный экстемум является максимумом для \( y(t) \).

Наибольшая координата y, достигаемая при моменте времени t*, и будет искомой высотой:

\( y_{max} = - g \cdot \frac{1}{2} \left(t^{*}\right)^2 + v_0 t^{*} = - g \cdot \frac{1}{2} \left({\frac{v_0}{g}}\right)^2 + v_0 \frac{v_0}{g} \)

Принимая \( g = 10 \) м/с² и имея по условию \( v_0 = 5 \) м/с, получим:

\( y_{max} = - \frac{1}{2} {\frac{{v_0}^2}{g}} + \frac{{v_0}^2}{g} = \frac{1}{2} {\frac{{v_0}^2}{g}} = \frac{1}{2} \cdot {\frac{{5}^2}{10}} = \frac{25}{20} = 1.25 \) м.

Ответ: 1,25 м.