Будем считать, что сила трения качения пренебрежимо мала, а также пренебрежем сопротивлением воздуха. Тогда для обоих случаев должен выполняться закон сохранения полной механической энергии.

 1) Таким образом в обоих случаях цилиндры движутся под действием составляющей силы тяжести параллельной наклонной плоскости. Из второго закона Ньютона получим:

  \( m*g*sin\alpha=m*a \), отсюда 

\( a=g*sin\alpha \)-(1)

где \( a \) - ускорение поступательного движения цилиндра.

С другой стороны ускорение \( a \) равно:

\( a=\frac{v-v_{o}}{t}=\frac{v}{t} \)-(2)

где \( v_{o}=0 \) - начальная скорость (по условию)

  \( v \) - скорость цилиндра через промежуток времени \( t \), когда он коснется первый раз горизонтали.  

Из (1) и (2) найдем искомое время \( t \):

 \( t=\frac{v}{g*sin\alpha} \)-(3)

2) Конечную скорость \( v \) найдем с помощью закона сохранения механической энергии:

\( m*g*[h+R(cos\alpha-1)]=\frac{J\omega^{2}}{2}+\frac{m*v^{2}}{2} \)-(4)

  \( J=k*m*R^{2} \) -(5)

где \( J \) - момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии;

 \( \omega=\frac{v}{R} \) -(6)

 \( \omega \)  - угловая скорость вращения цилиндра 

Подставим в (4) вместо \( J \) и \( \omega \) выражения (5) и (6), получим после сокращения: 

 \( g*[h+R(cos\alpha-1)]=\frac{k*v^{2}}{2}+\frac{v^{2}}{2} \), отсюда

  \( v=\sqrt{\frac{2g*[h+R(cos\alpha-1)]}{k+1}} \)-(7)

Подставим в (3) вместо \( v \) выражение (7), получим расчетную формулу для искомого времени:

 \( t=\sqrt{\frac{2*[h+R(cos\alpha-1)]}{g*(k+1)sin^{2}\alpha}} \)

Расчет времени:

а) Для сплошного цилиндра, для которого \( k=\frac{1}{2} \):

\( t=\sqrt{\frac{2*[0,5+6*10^{-2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)]}{9,8*(\frac{3}{2})*\frac{1}{4}}}\approx0,52 \) с

б) Для тонкостенного цилиндра, для которого \( k=1 \) :

 \( t=\sqrt{\frac{2*[0,5+6*10^{-2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)]}{9,8*2*\frac{1}{4}}}\approx0,45 \)