Теория брошено под углом к горизонту и на высоте 6 м. Имело скорость 5 м/с. А на максимальной высоте скорость тела составило 3 м/с. Найдите максимальную скорость

Трением пренебрегаем, энергия сохраняется.
mgh + mV1^2/2 = mVmax^2/2
  Vmax = корень (2gh + V1^2)
  Vmax = корень (120 + 25)
  Vmax = 12 м/с
Очевидно, что скорость максимальна в момент броска или касания земли.
С другой стороны - я никак не использовал в решении скорость на макс высоте, если это олимпиадная задача, то там может быть подвох как раз с трением.

Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Какова скорость тела в момент, когда оно оказалась на высоте 3 м?
ответ:6,3 м/с
P.S. Решать не через энергию

Дано:
v₀=10 м/с
h=3 м
Найти: v
Решение:
Проекция ускорения свободного падения на ось х равна 0. Движение по оси х равномерное. Проекция скорости на ось х постоянна и равна v₀cosα₀.
Рассмотрим движение по оси у. Высота равна перемещению тела по оси у и может быть вычислена по формуле
\( h=S_y= \frac{v_y^2-v_{0y}^2}{2a} = \frac{(vsin \alpha )^2-(v_0sin \alpha _0)^2}{-2g} = \frac{(v_0sin \alpha_0 )^2-(vsin \alpha)^2}{2g} ; \\ (v\,sin \alpha )^2=(v_0sin \alpha _0)^2-2gh \)
По теореме Пифагора
\( v^2=v_x^2+v_y^2=(v_0cos \alpha _0)^2+(vsin \alpha )^2= \\ =(v_0cos \alpha _0)^2+(v_0sin \alpha _0)^2-2gh=v_0^2(cos^2 \alpha _0+sin^2 \alpha _0)-2gh= \\ =v_0^2-2gh=10^2-2*9.8*3=41.2 \)
v= √41.2 =6.42 (м/с)
Ответ: 6,42 м/с

Тело брошен под углом к горизонту a=25’ со скоростью v=20м/с. С какой скоростью движется тело, когда расстояние между телом и землей достигнет 1м?

Тело брошен под углом к горизонту a=25’ со скоростью v=20м/с. С какой скоростью движется тело когда расстоянии между тело и земли достигает на 1м?
дано Vo=20 м/с h0=0  h=1 м    V -
по закону сохранения механической энергии
m*g*ho +m*Vo^2/2= m*g*h +m*V^2/2
Vo^2= 2*g*h + V^2
V=√(Vo^2-2*g*h)=√(400-20=19,5 м/с
Ответ V=19,5 м/с

Камень брошен с высоты 2 м под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью 6 м/с. Найдите скорость камня в момент падения на землю.

Дано:
h=2 м 
\( V_{0} = 6 \)
\( V^{`} - \)
Решение:
В момент падения камня на землю вся потенциальная и кинетическая энергия, которой обладал камень в полёте перейдёт только в кинетическую энергию удара/падения на землю со скоростью \( V^{`} \). (h = 0 м)
Согласно закону сохранения энергии:
\( E_{3} = E_{1} + E_{2} \), где Е3- кинетическая энергия падения камня, Е1 - кинетическая энергия во время полёта камня со скоростью \( V_{0} \), E2 - потенциальная энергия камня во время полёта
\( \frac{m*V^{`2} }{2} = \frac{m* V_{0}^{2} }{2} + mgh \)
Массы сократили, получаем:
\( \frac{ V^{`2} }{2} = \frac{V_{0}^{2} }{2} + gh \)
\( V^{`}= \sqrt{ V_{0}^{2}+2gh } = 8,7 \) м/с, так как про ускорение свободного падения ничего не сказано, то примем его за g= 10 м/с^2
Ответ: V`= 8,7 м/с

Тело брошено под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Определите эту скорость v0 и угол бросания α, если известна высота H максимального подъёма тела и расстояние L от точки бросания до точки падения на землю.

Дано:
Н
L
Найти: v₀, α
Решение:
Движение по оси у равноускоренное. В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна 0. Формула скорости в этом случае принимает вид
0=v₀sinα-gt₁
Находим время подъема до высшей точки
t₁=v₀sinα/g
Теперь воспользуемся формулой пути при равноускоренном движении
s=(v₂²-v₁²)/(2a)
При рассмотрении движения до верхней точки, эта формула принимает вид
H=-(v₀sinα)²/(2g) (поскольку знак минус говорит о направлении, то мы в дальнейшем можем его не учитывать)
Перейдем к горизонтальному движению. Это равномерное движении. Поэтому
L=v₀cosα·t₂
Время полета t₂ в два раза больше времени подъема до верхней точки
t₂=2t₁=2v₀sinα/g
Следовательно
L=v₀cosα·2v₀sinα/g=2v₀²sinα·cosα/g
Итого имеем два уравнения с двумя неизвестными.
{H=v₀²sin²α/(2g)
{L=2v₀²sinα·cosα/g
Разделим  второе на первое
L/H=4cosα/sinα
sinα/cosα=4H/L
tgα=4H/L
α=arctg(4H/L)
Зная одно неизвестное, легко найти второе. Например, из второго уравнения
L=2v₀²sinα·cosα/g=v₀²sin2α/g
v₀²=gL/sin2α=gL/sin(2arctg(4H/L))
v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L)))
Ответ: α=arctg(4H/L); v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L)))