Почему дверь, поставленная наклонно, либо сама открывается, либо сама закрывается? За счет какой энергии совершается эта работа? Не нарушается ли здесь закон сохранения энергии?

Нет, не нарушается, потому что дверь, повешенная правильно, находится в состоянии  безразличного равновесия (любое ее отклонение не приводит к возникновению дополнительной силы)
Дверь, повешенная неверно, находится в состоянии неустойчивого равновесия  (тогда дверь сама открывается) или устойчивого равновесия (тогда дверь сама закрывается)
Это происходит за счет потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли

Пружина жёсткостью k одним концом подвешена к потолку. К нижнему концу нерастянутой пружины прикрепили груз массой m и отпустили его, после этого пружина начала колебаться. С помощью закона сохранения энергии определите максимальное растяжение пружины в процессе колебаний.

Выберем систему отсчета таким образом, что "0" совместим точкой максимального растяжения пружины.
Тогда в точке не растянутой пружины система "пружина - груз" будет обладать потенциальной энергией W = g*m*h. Груз покоится, пружина не растянута. В самой нижней точке груз также покоится, потенциальная энергия груза равна нулю, а энергия деформированной пружины W = k*h²/2.
g*m*h = k*h²/2
h = корень(2*g*m*h/k) - это и есть максимальное растяжение пружины.

Если уронить упругий мяч, сможет ли он подпрыгнуть на высоту, большую чем та, на которой он находился? (Связать с законом сохранения энергии)

При любом ударе (и упругом в том числе), часть энергии идет на совершение работы на преодоление силы сопротивления воздуха, часть энергии выделяется на нагревание тела при ударе.
Значит потенциальная энергия до удара больше энергии после удара. Согласно закону сохранения энергии, мяч подпрыгнет на высоту, меньшую той, с которой он падал.

Откуда берётся кинетическая энергия в нижней точке движения, а потенциальная энергия в верхней?
Сколько раз за один период движения маятника тело обладает максимальной кинетической энергией?
Почему в нижней точке движения тело не останавливается, а продолжает двигаться?
Что можно сказать о полной механической энергии?
Какая система является замкнутой и чего не должно быть в экспериментах, чтобы выполнялся закон сохранения энергии?

1)в крайних точках один вид энергии полностью переходит в другой. 2)макс. Кинетической энергией за период тело обладает один раз. 3)продолжает двигаться по инерции. 4)полная механическая энергия остаётся постоянной. 5)замкнутые системы это те, в которых не учитываются силы трения и притяжения между телами.

На вершине гладкой полусферы радиусом 0.5 м находится шайба массой 10г. Шайба начала скользить вдоль сферы под действием горизонтально направленного кратковременного импульса силы 2*10^-2 Н*с. На какой высоте от основания полусферы шайба оторвется от ее поверхности?

Пусть A - угол между вертикалью и радиусом, проведенным в текущее положение скользящей точки.
В момент отрыва сила F центростремительная сравнивается с силой mg*cosA. С др. стороны, та же самая F ц. С. Равна mV^2/R=2E/R, where E=mV^2/2 - кинетическая энергия.
В силу сохранения, она равна сумме начальных кинетической и потенциальной
энергий: E=E0+mgR(1-cosA), где E0 - начальная кинетическая энергия.
Таким образом, для момента отрыва имеем 2E/R=mg*cosA, or 2E0/R+2mg(1-cosA)=mg*cosA,
откуда получаем косинус cosA=(2/3)*[E0/(mgR)+1] - это общий ответ.
Он, кстати, интересен сам по себе. Видно, что минимальное значение будет при E0=0: cosA=2/3.
С др. стороны, если E0=mgR/2, то точка оторвётся сразу, то есть при А=0.
В вашем частном случае E0=P^2/(2m), where P - initial puls=2*10^(-3) н*с.
Осталось подсчитать.