все заряды, расположенные в вершинах квадрата, находятся в одинаковых условиях 

пусть заряд в одной вершине квадрате будет т. А
его отталкивают заряды, помещенные в других вершинах (например В, С, и Д) с силами F(В), F(С), F(Д)

уравновесить действие этих сил может отрицательный заряд ( пусть это будет q*), помещенный в точке пересечения диагоналей (точка Е) и действующий с силой F(Е)
Равновесие возникает в том случае, когда суммы проекций всех сил на оси Ох и Оу будут равны нулю:
на ось Ох:
-F(В) - F(С)cos45 + F(Е)cos45 = 0(1) 
на ось Оу:
F(Д) - F(С)cos45 - F(Е)cos45 = 0,(2) 
по закону Кулона модули сил F(В) и F(Д) равны:
F(В) = F(Д) = кqq/a^2 = kq^2/a^2

F(С) = kq^2/(AC)^2, где АС = а на корень из двух.  
модуль силы F(Е) также можно определить по закону Кулона: 
F(Е) = kqq*/L^2, где L = (а на корень из двух)/2, т. Е.  
F(Е) = 4kqq*/2a^2 = 2kqq*/a^2.
Известно, что cos45 = (корень из двух) / 2

модуль заряда q* определяем из любого уравнения: (1) или (2), например, из (1): 
- kq^2/a^2 - (kq^2/2a^2) *(корень из двух) / 2 + (2kqq*/a^2) * (корень из двух) / 2 = 0
q* = q умножить на (корень из двух + 4) / 4 *корень из двух = 3,8 * 10^(-6) Кл