Пусть $v_0$ - начальная скорость частицы. Тогда по условию

$\frac{mv_0}{\sqrt{1-\frac{{v_0}^2}{c^2}}}=mc,\ \frac{{v_0}^2}{1-\frac{{v_0}^2}{c^2}}=c^2,\ {v_0}^2=c^2-{v_0}^2,\ v_0=\frac{\sqrt2}2c$

После увеличения импульса в 2 раза для конечной скорости v имеем:

$\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=2mc,\ \frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=4c^2,\ v^2=4c^2-4v^2,\ v=\frac{2\sqrt5}5c$

Тогда начальная кинетическая энергия равна

$\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{{v_0}^2}{c^2}}}-mc^2=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac12}}-mc^2=(\sqrt2-1)mc^2\approx 0,4mc^2$

а конечная

$\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac45}}-mc^2=(\sqrt5-1)mc^2\approx 1,2mc^2$

то есть кинетическая энегия увеличилась в 3 раза