Через блок имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузы массой m = 100 гр и m = 110 гр. С каким ускорением будут двигаться грузы, если масса блока равна m = 400 гр? Трение при вращении блока ничтожно мало.
Грузы создают относительно оси блока моменты сил M1=m1*g*R=0,1*10*R=R (Н*м) и M2=m2*g*R=0,11*g*R=1,1*R (Н*м) (R - радиус блока, g=10 м/с² - ускорение свободного падения). По второму закону динамики для вращательного движения, M2-M1=0,1*R=J*dw/dt, где J=m3*R²/2, где m3 - масса диска. Отсюда следует уравнение 0,1*R=0,4*R²*dw/dt. Так как w=v/R, где v - скорость грузов, то dw/dt=1/R*dv/dt=a/R, где a - искомое ускорение грузов. Тогда 0.1*R=0,4*a*R, или 0,1=0,4*a, откуда a=0,1/0,4=0,25 м/с². Ответ: 0,25 м/с².На автомобиль массой1 т, движущийся равноускоренно и прямолинейно, действует сила тяги 800 Н и сила трения 200 Н. С каким ускорением движется автомобиль?
Дано:m=1т
F_тяги= 800Н
F_трения=200Н
F_равнодействующая -
a-
СИ:
1×1000=1000кг
Решение:
Сила трения и сила тяги лежат на одной прямой, но направлены в разные стороны => ищем разность этих сил
F_равнодействующая=F_тяги-F_трения
F_равнодействующая=800-200=600Н
Вспоминаем второй закон Ньютона:
F=m*a
a=F/m
a=600/1000=0,6 м/с^2
К нити, намотанной на сплошной однородный цилиндр массой M и радиусом R, привязан грузик массой m. Нить переброшена через блок пренебрежимо малой массы (рис. 9.12). Найти ускорение грузика a и ускорение центра масс цилиндра a c(индекс). Считать, что цилиндр катится без проскальзывания. В задаче найти, каким должен быть коэффициент трения μ цилиндра о плоскость, чтобы цилиндр катился по плоскости без проскальзывания.
Раз цилиндр катится без проскальзывания, то значит, его нижняя точка, которой цилиндр опираетсся на стол – в любой момент времени испытвает кратковременное состояние покоя (мгновенное), или иначе говоря – замирает. Это возможно только в том случае, когда линейная скорость вращения обода (поверхности цилиндра) равна скорости движения оси цилиндра вправо по столу.Подойдя к вопросу с другой стороны, мы можем понять, что за небольшой промежуток в любой момент времени, верхняя точка обода продвигается вправо на вдое больлшее расстояние, чем ось цилиндра, поскольку верхняя точка обода отстоит от стола на вдаое большее расстояние. А это значит, что к скорости движения оси цилиндра в верхней точке обода должна прибавляться точно такая же линейная скорость вращения обода.
В обоих подходах мы приходим к выводу, что линейная скорость вращения обода vo всегда должна быть равна скорости оси цилиндра V для выполнения условия качения без проскальзывания. Итак, мы можем записать:
V = vo ;
Угловая скорость вращения обода ω, по определению связана с линейной сокростью его вращения vo – соотношением:
ω = vo/R = V/R ;
Rω = V ;
Верхняя точка цилиндра в любой момент времени при этом движется относительно стола со скоростью:
v = vo + V = 2V ;
v = 2V = 2Rω ;
и скорость v – это ни что иное, как модуль скорости движения нити и подвешенного груза.
dv = 2dV = 2Rdω ;
dv/dt = 2dV/dt = 2Rdω/dt ;
a = 2aц = 2Rω’,
aц = ω’R = a/2, где:
aц – модуль линейного ускорения оси цилиндра, и так же и модуль линейного ускорения вращения его обода,
ω’ – угловое ускорение вращающегося цилиндра:
Запишем Второй закон Ньютона в линейной и вращательной форме для участвующих в движении тел, учитывая момент инерции цилиндра – MR²/2 и обозначив модуль натяжения нити, как T и проекцию силы трения, как Fx (на горизонтальную ось Ох, направленную слева направо). Направим силу трения вправо, считая её проекцию положительной. Этот выбор не изменит хода решения задачи, поскольку если в реальности она окажется направлена влево, ты мы просто получим для значения проекции отрицательное значение. Позже мы поставим условие –μN < Fх < μN, чтобы трения было достаточно (куда бы оно ни было направлено) для обеспечения качения без проскальзывания.
mg – T = ma ; для грузика
T + Fх = Maц ; для движения оси цилиндра
TR – FхR = [MR²/2]ω’ ; для вращения вокруг оси цилиндра
mg – T = ma ; [1]
T + Fх = Ma/2 ; [2]
T – Fх = Ma/4 ; [3]
mg – T = ma ;
2T = 3Ma/4 ;
T = 3Ma/8 ;
mg – 3Ma/8 = ma ;
( m + 3M/8 ) a = mg ;
a = g / ( 1 + 3M/[8m] ) – это ускорение грузика ; [4]
aц = a/2 = g / ( 2 + 3M/[4m] ) – это ускорение движения направо оси цилиндра ; [5]
Вычтем [3] из [2] и получим:
2Fх = Ma/4 ;
Fх = Ma/8 ;
Сила трения покоя по модулю всегда должна быть меньше силы трения скольжения, а значит, олджно выполняться неравенство:
F < μN ;
|Fx| < μN ;
–μN < Fx < μN ;
–μMg < Ma/8 < μMg ;
–μg < 0 < a/8 < μg ;
μ > a/8g, подставляя [4] получим:
μ > 1/[ 8 + 3M/m ] ; [6]
Ответы в пунктах [4], [5] и [6].
На гладком столе находится тело массой 2 кг. Другое тело массой 1 кг подвешено на нити, перекинутой через неподвижный блок, прикрепленный к столу; нить привязана к первому телу. Пренебрегая трением, массами нити и блока, определите ускорение движения тел и силу, с которой первое тело действует на второе.
Рассмотрим тело, подвешенное на нити (m₁=1 кг).Пусть ускорение этого тела направлено вертикально вниз. Так же направим и ось OY.
По второму закону Ньютона:
m₁*a = m₁*g - T
Отсюда натяжение нити::
T = m₁*(g-a) (1)
Рассмотрим движение тела, движущегося по горизонтальному столу (m₂=2 кг). Для него:
T = m₂*a (2).
Приравняем (1) и (2)
m₁*(g-a) = m₂*a;
m₁*g - m₁*a = m₂*a;
m₁*a + m₂*a = m₁*g;
a = m₁*g / (m₁+m₂);
a = 1*10 (1+2) = 3,3 м/с²
T = 2*3,3 = 6,6 Н