На концах верёвки длиной 12 м и массой 6 кг укреплены два груза, массы которых 2 и 12 кг. Верёвка переброшена через неподвижный блок и начинает скользить без трения. Какое натяжение испытывает середина верёвки в тот момент, когда её длина по одну сторону блока равна 8 м?

Середина верёвки всегда испытывает одинаковое натяжение от грузов и оно равно удвоенному весу наименьшего груза. Так как меньший груз весит P=mg; P=10*2=20 Н, то натяжение верёвки грузами равно 20*2=40 Н.
Оставшееся натяжение даёт вес самой верёвки, точнее это будет удвоенный вес короткого её конца. Длина короткого конца равна 12-8=4 м. Так как вся верёвка весит 6*10=60 Н, то 4 метра будут весить (60/12)*4=20 Н. Значит середина верёвки испытывает натяжение, равное 40+40=80 Н.

На невесомой и растяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами m1=800 г и m2=0,6 кг.
С каким ускорением движутся грузы?
Чему равна сила натяжения нити во время движения грузов?

На грузы действуют силы F1=0.8*g и  F2=0.6*g
(Кстати, нить должна быть НЕрастяжимой). За счет нити и реакции опоры блока  получается что эти силы частично друг друга компенсируют и суммарная сила действующая на систему F=F1-F2=0.2*g=1.96 Н
Масса всей системы =0,6+0,8=1,4 кг
F=m*a отсюда
a= F/m=1.96/1.4=1.4 м/с²
Сила натяжение нити =0,6 кг*g= 5,88 Н

Два тела с массами m1 и m2 привязаны к нити, перекинутой через невесомый неподвижный блок. Найти ускорение грузов и силу натяжения нити, если масса первого груза 1 кг, масса второго 2 кг.

Так как блок невесомый, то силы натяжения нитей одинаковы и равны T
пусть нити нерастяжимые, тогда ускорения, с которыми будут двигаться грузы, одинаковы
ясно, что система грузов будет двигаться в сторону груза с большей массой m2
на грузы действуют только силы натяжения со стороны нитей и сила тяжести со стороны Земли
запишем в векторной форме 2-ой закон Ньютона для обеих грузов:
m1g + T = m1a
m2g + T = m2a
направляем некоторые оси в сторону движения грузов. Получаем в проекции на эти оси:
T - m1g = m1a
m1g - T = m2a
складываем уравнения для исключения T:
g (m2 - m1) = a (m1 + m2)
теперь можем запросто найти ускорение:
a = g (m2 - m1) / (m1 + m2),
a = 10 * 1 / 3 = 3,33 м/с^2
натяжение нити выразим из уравнения проекции 2 закона Ньютона для 1 груза (можно выразить и из второго, но это ничего не меняет):
T = m1 (g + a) = 10 + 3,33 = 13,33 H

В установке, показанной на рис., массы тел равны m0, m1 и m2, массы блока и нитей пренебрежимо малы. Трение в блоке не учитывать. Найти ускорение "a", с которым опускается тело массы m0, и силу натяжения нити, связывающей тела m1 и m2, если коэффициент трения меж-ду этими телами и горизонтальной поверхностью равен μ.

1.
a1 = a2 = a3, т.к. Нить нерастяжимая 
T01 = T02 = T0 по 3 з. Н.
T2 = T3 = T по 3 з. Н.
OX (1): T0 - um1g - T = m1a 
OX (2): T - um2g = m2a 
OY (3): m0g - T0 = m0a 
(1) + (3): 
-um1g - T + m0g = a (m1 + m0)
с учетом силы натяжения T = m2a + um2g из (2):
-um1g - m2a - um2g + m0g = a (m1 + m0)
a (m0 + m1 + m2) = m0g - um1g - um2g
a = (m0g - ug (m1 + m2)) / (m0 + m1 + m2)
a = g (m0 - u (m1 + m2)) / (m0 + m1 + m2) (!)
2.
с учетом формулы ускорения в (2):
T - um2g = m2g (m0 - u (m1 + m2)) / (m0 + m1 + m2)
T = m2g (m0 + u (1 - m1 + m2)) / (m0 + m1 + m2) (!)

Через невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить, на концах которой висят 2 груза. Через какое время более тяжелый из них, имеющий массу 350 г и расположенный на высоте 0,98 м от пола, коснется пола, если сила натяжения нити 2,1 Н? Какова масса легкого груза? Начальная скорость равна нулю.

Ускорения грузов равны ввиду нерастяжимости нити
силы натяжения грузов равны ввиду 3 закона Ньютона
для тяжелого груза Mg - T = Ma
значит, ускорения грузов равны a = g - (T/M) = 4 м/c²
для легкого груза T - mg = ma
значит, масса легкого груза равна m = T/(g + a) = 0.15 кг
тяжелый груз пройдет путь h = (a t²)/2 без начальной скорости за время t = √((2h)/a) = 0.7 c