С вершины холма бросили камень под углом к горизонту со скоростью Vо = 10 м/с. В момент падения камня на склон холма угол между направлением скорости камня и горизонтом составил b = 60, а разность высот точек бросания и падения h = 5 м. Найдите угол между направлением начальной скорости камня и горизонтом.

Конечную скорость можно найти из закона сохранения энергии:
\( v_1^2=v_0^2+2gh=100+2\cdot10\cdot5=200 \)
\( v_1=10\sqrt2 \)
Проекция скорости на горизонтальную ось сохраняется, поэтому проекция в конечный момент времени 
\( v_x=v_1\cos\beta=10\sqrt2\cdot\dfrac12=5\sqrt2 \)
равна проекции в начальный момент 
\( v_x=v_0\cos\alpha;\quad \cos\alpha=\dfrac{v_x}{v_0}=\dfrac{\sqrt2}2 \)
Угол между направлением начальной скорости и горизонтом равен
\( \alpha=\arccos\dfrac{\sqrt2}2=45^\circ \)

Под каким углом к горизонту вылетел снаряд из ствола с начальной скоростью 600м/с, если его масса равна 3 кг, а кинетическая энергия в высшей точке траектории 270кДж. Чему равна потенциальная энергия в этой точке? Сопротивлением пренебречь.

V0= 600 м/с
m = 3кг
Ek= 270кДж
кинетическая энергия в высшей точке траектории Ek= 270кДж 270 000 Дж
Ek = mV^2/2
V = √ (Ek/m)
в высшей точке траектории 
Vx = V
Vx = √ (Ek/m)
Под каким углом <a  к горизонту вылетел снаряд из ствола
cos<a = Vx/V0  = √ (Ek/m) / V0 =√ (270000/3)  / 600 = 0.5 = 1/2 = cos 60 
<a = 60 град
полная энергия при вылете из ствола
E =  Ek0 = mV0^2/2
в высшей точке траектории потенциальная энергия  
Eп = Е - Еk =mV0^2/2 - Ek =  3*600^2/2 - 270000= 270 000 Дж = 270 кДж
*** потенциальную энергию можно посчитать через высоту по ф-ле Еп =mgh

С поверхности Земли одновременно бросают тела, одно вертикально вверх, второе - под углом к горизонту. Найдите угол, под которым бросили второе тело, если тела упали одновременно, причём высота подъёма тела, брошенного вертикально вверх, вверх равна расстоянию, на котором второе тело упало от точки бросания.

V - скорость вертикально брош. Тела
t = 2v/g - время  полета вертикально брош. Тела
h=g(t/2)^2/2 = g(v/g )^2/2 = v^2/(2g) - высота полета вертикально брош. Тела
Vh = v - вертикальная составляющая скорости 2 тела (так как упали они одновременно)
S=h=v^2/(2g) - дальность полета 2 тела (так как дальность равна высоте полета первого)
Vs = S/t = v^2/(2g) / (2v/g) = v/4 горизонтальная составляющая скорости 2 тела
tg (alpha) = Vh/Vs = v/(v/4) = 4 - тангенс угла при бросании 2 тела относительно горизонта
alpha = arctg(4) - угол бросания 2 тела относительно горизонта
beta = pi/2 - arctg(4) = arctg(1/4) - угол бросания 2 тела относительно вертикали и относительно первого тела
какой угол Вам нужен - выбирайте сами

Под каким углом к горизонту был брошен камень, если его скорость на максимальной высоте и на его половине этой высоты отличается в два раза?

Будем думать о квадрате скорости
\( v^2=v_x^2+v_y^2 \)
Есть з. С. Э. (под v подразумевается y-компонента скорости):
\( 2gh_{max}=2gh+v^2=v^2_0 \)
На максимальной высоте
\( v_y=0 \)
На высоте hmax/2
\( v_y^2=2gh_{max}-gh_{max}=gh_{max}=v_{0y}^2/2 \)
Из условия известно, что
\( v^2(h_{max}/\,2)=4v^2(h_{max})\\ v_x^2+v_y^2(h_{max}/2)=4v_x^2 \)
Подставляем то, что уже нашли:
\( 3v_x^2=v_{0y}^2/2\\ \left(\dfrac{v_{0y}}{v_{x}}\right)^2=(\mathrm{tg}\,\alpha)^2=6\\ \boxed{\alpha=\mathrm{arctg}\,\sqrt6} \)

Тело брошено под углом к горизонту таким образом, что максимальная высота подъема была равна дальности полета. Под каким углом было брошено тела?

Запишем формулу мах. Высоты и дальности полета.  
h(max)=v0^2*(sin a )^2 / 2g. 
L=v0^2*sin 2a / g. Приравняем 
v0^2*(sin a )^2 / 2g = v0^2*sin 2a / g. Сократим на v0^2, g. И представим sin 2a=2*sin a*cos a. 
(sin a )^2 / 2 = 2*sin a*cos a. Сократим на sin a. И перенесем сos a влево.  
sin a / cos a =4. ( sin a / cos a =tg a ) 
tg a =4. По таблицам Брадиса определим угол а.  
а=76 град.