Камень бросили под углом к горизонту (в вакууме). В верхней точке траектории потенциальная энергия равна кинетической. Под каким углом бросили камень?

Вертикальная составляющая скорости
\( v_{oy}=v_0sin \alpha \)
Горизонтальная составляющая всегда постоянна
\( v_{x}=v_0sin \alpha \)
В верхней точке траектории вертикальная составляющая равна нулю. Пройденный по вертикали путь есть высота
\( h= \frac{v_2^2-v_1^2}{2a} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{v_{0}^2sin^2 \alpha} {2g} \)
По условию
\( mgh= \frac{mv^2}{2} \\ mg\frac{v_{0}^2sin^2 \alpha} {2g} = \frac{mv_0^2cos^2 \alpha }{2} \\ sin^2 \alpha = cos^2 \alpha \\ tg^2 \alpha =1 \\ \alpha =45^0 \)

Дальность полета камня, брошенного под углом к горизонту со скоростью v0, оказалась вдвое меньше максимально возможной при той же начальной скорости. Под каким углом к горизонту брошен камень? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ приведите в градусах.

Vy = V*sin(a)
Vx = V*cos(a)
Рассмотрим движение вдоль оси OY:
0 = Vy * t - g*t^2/2
Отсюда t подъема равно:   t под = 2*Vy/g = 2*V*sin(a)/g
Время полета
t = 2*t под
Дальность полета: S = Vx*t = V*cos(a)*2*2*V*sin(a)/g = 2*V^2*sin(2*a)/g
Максимальная дальность достигается при угле 45 градусов,
тогда sin (2*45)= sin(90) =1
Smax = 2*V^2/g
S = V^2/g
Тогда
2*V^2*sin(2a)/g = V^2/g
sin (2a)=1/2
2a = 30 градусов
Значит, а=15 градусов

Под каким углом к горизонту надо бросить камень с поверхности земли, чтобы его кинетическая энергия в точке максимального подъема составляла 25% от кинетической энергии в точке бросания? Сопративлением воздуха пренебречь

Под каким углом к горизонту надо бросить камень с поверхности земли, чтобы его кинетическая энергия в точке максимального подъема составляла 25% от кинетической энергии в точке бросания? Сопративлением воздуха пренебречь
по условию Е/Еo=0,25
в верхней точке скорость направлена гогизонтально Vox=Vo*cosa
m*Vox^2/m*Vo^2=0,25
Vox/Vo=cosa=0,5
Ответ a=60°

Под каким углом к горизонту надо бросить мяч, чтобы максимальная высота его подъёма была равна дальности полёта?

Решение:
Hmax=L
Есть формула
Hmax=h0+vo^2*sin^2(a)/2g
Т. К. Бросали с уровня земли, то ho=0.
Lполета= vo^2*sin(2a)/g
Приравниваем.
Остается у нас
Sin2a=sin^2a/2
4sinacosa=sinasina
Tga=4
А=аrctg4=76 градусов

Под каким углом к горизонту необходимо бросить камень с обрывистого берега реки, чтобы он упал в воду возможно дальше от берега? Высота обрыва h0 = 20 м, начальная скорость камня v0 = l4 м/с.

Без учета силы трения тело движется по параболе. Если бы мы бросали из точки А, то наибольшая дальность полета достигалась бы при угле броска в 45°. В этом случае, в точке А горизонтальная и вертикальная составляющие вектора скорости равны между собой.  
\( v_y=v_x \)
Горизонтальная составляющая не меняется, т.к. Ускорение свободного падения действует по вертикали.
В точке броска вертикальная составляющая уже другая, а горизонтальная та же.
Воспользуемся формулой перемещения
\( s= \frac{v_2^2-v_1^2}{2a} \)
В нашем случае s=h₀, скорости - вертикальные составляющие в точке А и в точке броска. Тогда
\( h_0= \frac{v_0^2sin^2 \alpha-v_0^2cos^2 \alpha }{-2g} \\ \frac{2gh_0}{v_0^2} =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha \\ \frac{2gh_0}{v_0^2} =cos2 \alpha \\cos 2 \alpha =\frac{2*9.8*20}{14^2} =2 \)
Такое значение косинуса недопустимо. Это говорит о том, что предложенная скорость слишком мала, что бы камень мог следовать по оптимальной траектории. Максимальное значение косинуса равно 1, следовательно, угол будет равен 0. Значит, бросаем горизонтально.
Ответ: 0