Под каким углом к горизонту надо бросить тело со скоростью 20м/с чтобы дальность полета была в 4 раза больше наибольшей высоты подъема? Определеть радиус кривизны траектории в наивысшей ее точке (45 градусов 20.4 м)

Максимальная высота подъёма H = V²*sin²α/2g.
Дальность полёта L = V²*sin(2α)/g = V²*(2sinα*cosα)/g.
По условию задачи 4H = L.
4V²*sin²α/2g = V²*(2sinα*cosα)/g.
Сократим на 2V²*sinα/g.
sinα = cosα,
Заменим cosα = √(1-sin²α).
sinα = √(1-sin²α).
Возведём в квадрат обе части уравнения:
sin²α = 1 - sin²α,
2sin²α = 1,
sinα = 1/√2,
α = arc sin(1/√2) = 45°.

Камень, брошенный с горизонтальной поверхности земли со скоростью 20 м/с, упал на землю на расстоянии 160м от места бросания. Под каким углом к горизонту был брошен камень?

Возможно, предлагаю не самый рациональный метод расчета, но тем не менее. Советую держать формулы по баллистике, ибо про их вывод я не буду писать
H = V0y t - g t^2 / 2 (уравнение координаты y)
H = ( l sina t / cosa t ) - g t^2 / 2 (выразил начальную скорость из формулы для длины полета l) 
H = l tga - g t^2 / 2
H = l tga - 0,5 g (2 V0 sina / g)^2 (выразил время)
H = l tga - (2 V0^2 sin^2a / g)
H = l tga - 4 H (выражение в скобках без двойки равно удвоенной высоте)
5 H = l tga
2,5 V0^2 sin^2a / g = l tga
l g = 2,5 V0^2 tga (расписал тангенс, сократил синусы, разделил обе части уравнения на косинус)
tga = l g / 2,5 V0^2
tga = 1600 / 1000 = 1,6
следовательно, а = 58°

Начальная скорость снаряда 500 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, покажите, под каким углом к горизонту должен производиться выстрел для достижения максимальной дальности, и определите максимальную дальность полёта.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория движения - парабола. Движение вдоль горизонтали равномерное. Дальность полёта может быть вычислена по формуле, написанной в прикреплении, расчёт там же.

Под каким углом к горизонту надо направить струю воды из брандспойта, чтобы она падала на расстояние l от него? Плотность воды равняется p, площадь отверстия-S, мощность мотора P, а его КПД-n. Высоту над землей считать нулем.

Нужно посчитать скорость вылета струи. Тогда задача превратится в классическую задачу на бросок под углом к горизонту.
Мощность - это сколько работы совершает мотор в единицу времени для разгоны струи. И еще на кпд.
\( P=\eta\dfrac{dA}{dt}=\eta\dfrac{\frac12 dm\cdot v^2}{dt}=\eta\dfrac 12 v^2\dfrac{\rho S dx}{dt}=\eta\dfrac 12\rho v^3S \)
Отсюда скорость:
\( v= \sqrt[3]{\dfrac{2P}{\eta\rho S}} \)
Дальше все как в книжках:
\( L=\dfrac{v^2\sin 2\alpha}{g} \)
И отсюда угол:
\( \alpha=\dfrac 12\arcsin\left[\dfrac{gL}{v^2}\right]=\dfrac 12\arcsin\left[gL\cdot\left(\dfrac{2P}{\eta\rho S}\right)^{-2/3}\right] \)
Замечание. При внимательном рассмотрении становится ясно, что при \( L\ \textless \ \frac{v^2}{g} \) решений два, что соответствует двум траекториям (им даже название есть: низкая - настильная, высокая - навесная, при этом сумма углов при обеих траекториях равна π/2), при \( L= \frac{v^2}{g} \) угол равен 45 градусам и траектория одна, при \( L> \frac{v^2}{g} \) решений нет. Так что, для существования решений существенно условие на параметры задачи:
\( L \leq \dfrac{v^2}{g} \)

Под каким углом к горизонту брошено тело, если в точке максимального подъёма радиус кривизны превышает высоту полёта в 2 раза?

В точке максимального подъёма: g = Vx^2/r. => Vx^2 = gr
По условию, радиус кривизны r = 2h. => Vx^2 = 2gh.
Высота максимального подъема: h = Vy^2/2g => Vy^2 = 2gh.
Сравнивая выражения для Vx и Vy, можно сделать вывод, что Vx = Vy.
Следовательно, тело было брошено под углом 45 градусов к горизонту.