К концам горизонтального рычага приложены направленные вниз силы 15Н и 10Н. Точка опоры находится на 10 см ближе к одному концу рычага, чем к другому. Какова длина рычага, если он находится в равновесии?

Поскольку рычаги в равновесии, рычаг к которому приложена меньшая сила - плечо у него будет больше, а у того что сила больше, соответственно, плечо меньше - так можешь и ответить учителю.
Задача решается так:
Дано:
F1=15 Н
F2=10 Н
L1=x
L2=x+10см
L -
Решение:
F1·L1 = F2·L2
15*x=10(х+10)
15x=10x+100
15x-10x=100
5x=100
x=100:5
x=20
L1=20см
L2=20+10см=30см
L=20см+30см=50см=0,5м
Ответ: L=0,5м

На доске длиной 4м и массой 30 кг качаются два мальчика массами 30 кг и 40 кг. На каком расстоянии х от середины доски должна быть точка опоры, если мальчики сидят на концах доски?

дано
m1=30кг
m2=40кг
m3=30кг - доска
L=4м
-
х - расстояние от центра доски
РЕШЕНИЕ
опора ближе к мальчику с БОЛЬШИМ  весом -здесь плечо короче
надо учитывать вес доски - для простоты расчета ВЕС приложен  в центре тяжести доски - точка приложения веса - на длинном плече
тогда уравнение моментов
M1+M3 = M2
gm1*(L/2+x) +gm3*x =gm2*(L/2-x)
m1*(L/2+x) +m3*x =m2*(L/2-x)
m1*L/2+m1*x +m3*x =m2*L/2-m2*x
m1*x +m3*x+m2*x =(m2-m1)*L/2
(m1 +m3+m2)*x =(m2-m1)*L/2
x =(m2-m1)*L/2 / (m1 +m3+m2)
x =(40-30)*4/2 / (30 +30+40) = 0.2 м
ответ 0.2 м

К концам рычага рычага длиной 1 м подвешены грузы массой 8 кг и 12 кг. На каком расстоянии от середины рычага должна быть точка опоры, чтобы рычаг находился в равновесии? Массой рычага можно пренебречь.

m1=8кг
m2=12 кг
g=10 м/с2
середина 1м /2= 0.5 м
расстояние точки опоры от середины  -х
уравнение моментов сил
F1*(0.5+x) = F2(0.5-x)
m1*g (0.5+x) = m2*g (0.5-x)
g -сокращаем
8* (0.5+x) = 12* (0.5-x)
4+8x = 6-12x
20x = 2
x= 2/20=0.1 м
Ответ 0.1 м

Две девочки массами m1=27, m2=36 кг качаются, сидя на концах доски длиной L=4 м и массой М=33кг. Где должна быть у доски точка опоры

Чтобы девочки могли свободно качаться, сумма моментов от действующих на качели сил слева от опоры и справа от опоры должны быть равны.
Для доски ее масса равномерно распределена по длине, и масса одного метра составит 33/4 кг. Вес части доски между концом (левым или правым) приложен в середине расстояния от конца доски до точки опоры.
Обозначим расстояние от левого конца доски до опоры как L.
Составим уравнение равенства моментов
27L +(33/4*L)*L/2=36*(4-L)+(33/4)-(4-L)*(4-L)/2 
27L+33L^2/8=144-36L+33L/8*(4-L)^2
27L+33L^2/8=144-36L+33/8(16-8L+L^2)
33L^2/8+27L=144-36L+66-33L+33L^2/8
96L=210
L=2.1875 м
Ответ: опору нужно разместить на расстоянии 2,1875 м от левого края доски (от того, на котором сидит девочка с массой 27 кг)

К концам горизонтального рычага приложены вертикальные силы 2H и 18H. Длина рычага 1м. Где находится точка опоры, если рычаг находился в равновесии?

Смотри, все решаеться по этому отношению  F2/F1 = d1/d2, где  F- сила, а d- растояние от точки опоры до конца рычага. F2d2= F1d1, а d1+d2= 1 метр ( это система) выразим из второго уравения d2. d2= 1-d1. Подставим в первое и получим: 18- 18d1=2d1
значит 18=20d1, делим обе части на 20 и  получаем что d1= 0.9 метра, значит d2= 0.1 
Входит что если оталкиваться от силы F1=2H то расстояние будет равно 0.9 м=90 см