К концам легкого рычага длиной 50 см подвешены медный и серебряный сплошные шары одинакового объёма. На каком расстоянии от середины рычага надо разместить точку опоры, чтобы рычаг находился в равновесии?

Пусть p1 - плотность меди, р2 - плотность серебра. Для равновесия моменты сил тяжести должны быть уравновешены.
масса меди m1=p1*V
масса серебра m2=p2*V
моменты сил тяжести: p1*V*g*d1=p2*V*g*d2; здесь d1 и d2 - расстояния до точки опоры
Сокращаем g и V, получаем p1d1=p2d2; p1/p2=d2/d1 - зная плотность меди (8920 кг/м^3) и серебра (10500 кг/м^3) находим отношение d2/d1=8920/10500 = 0,85, или d2=0,85d1
из условия мы еще не использовали условие об общей длине рычага - 0,5 метра, что есть сумма обоих расстояний до точки опоры: d1+d2=0,5;
подставим выраженную через d1 длину d2:
d1+0,85d1=0,5; d1=0,27 м, откуда найдем d2 как 0,5-d1=0,23 м
Ответ: медный шар на расстоянии 27 см, серебряный - на расстоянии 23 см от точки опоры

На концах рычага действуют силы 100 Н и 300 Н. Длина рычага 1 м. Где нужно поставить опору, чтобы рыча был в равновесии.

M1=M2
d1*F1 = d2* F2, где d1 и d2- плечи сил (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения, а М1 и М2- моменты сил)
из этого получаем что:
F1/F2= d2/d1
d2/d1=3/1
т. Е. Теперь делим рычаг НА 4 ЧАСТИ (3+1=4)
1/4= 0.25 (м)
т. Е. Опора должна располагаться на расстоянии 25 см от того конца рычага, на которые действует сила в 300 Н и на расстоянии 75 см от того конца, где действует сила в 100 Н 

На концах рычага действуют силы 2 и 18 Н. Длина рычага равна 1м. Где находится точка опоры, если рычаг в равновесии?

Дано:
F1=2Н
F2=18Н
L=1м=100см
_________
L1, L2=?
Решение:
Мы знаем, что :
F1/F2=L2/L1
Также, известно :
L=L1+L2
Значит :
L2=L-L1
Используя предыдущие формулы, найдём формулу нахождения L2, применяя свойства пропорции :
L1=F2*(L-L1)/F1
Подставим значения :
L1=18*(100-L2)/2
L1=9*(100-L1)
L1=900-9L1
10L1=900
L1=90см
L2=100-90
L2=10см

Длина рычага 1 м. Где должна находиться точка опоры, чтобы груз весом 5н, подвешенный на одном конце рычага, уравновешивался грузом весом 20 на подвешенный ко второму концу рычага

Груз в частях 1ч=5 и 4ч=20, итого частей 5.
Рычаг в частях для обратной пропорциональности: где груз больше плечо должно быть меньше, 100/5ч=20см. Разделен в см на 80см+20см.
5*80=20*20 (400=400).
Условие равновесия на рычаге
M1=M2
х- расстояние от груза до точки опоры
F(L-x)=mgx
20(L-х)=5x
20-20x=5x
20=25x
5x=4
x=4/5м=0,8м
Ответ 0,8м

На концы рычага действуют вертикальные силы 8 Н и 40 Н. Длина рычага 90 см. Где расположена точка опоры, если рычаг находится в равновесии?

Если рычаг в равновесии, значит моменты сил с обеих сторон равны. Момент силы M=F*l, где F-сила, действующая на рычаг, а l- длина плеча.
Получаем F1*l1=F2*l2. При равновесии где длиннее плечо, там сила будет меньше. Уравниваем моменты сил F1*l1=F2*l2; F1/F2=l2/l1; Подставляем значения. l2/l1=40/8=5, Значит первое плечо в пять раз короче второго. Значит длина всего рычага равна длине короткого плеча, умноженной на шесть.   Составим уравнение 6l1=0,9м; l1=0,9/6=0,15м. Второе плечо равно 0,15м*5=0,75м.