Два мальчика, массы которых 32 и 24 кг, сделали себе качели, положив доску длинной 4м на упор. Определите массу доски, считая доску однородной, если известно, что она находиться в равновесии, когда мальчики сидят на противоположных концах доски, а точка опоры удалена на расстоянии 2,2м от одного из них.
Дано:\( m_1=32_{кг}\\ m_2=24_{кг}\\ l=4_M\\ a=2,2_M\\ -\\ M- \)
Решение:
\( \bf M_1=M_2\\ F_1l_1=F_2l_2+F_3l_3\\ \)
\( \bf m_1g(l-a)=Mg(a- \frac{l}{2})+m_2ga \), (\( \bf l_2=a- \frac{l}{2} \) т.к. Сила тяжести доски приложена к центру ее масс, который, из-за её однородности, находится в её геометрическом центре, находящемся на равном расстоянии от концов доски, т.е. Делящий её пополам) \( m_1(l-a)=M(a- \frac{l}{2})+m_2a\Rightarrow M= \frac{m_1(l-a)-m_2a}{a-\frac{l}{2} } \\ M= \frac{32*(4-2,2)-24*2,2}{2,2- \frac{4}{2} }=24_{кг} \)
На качели массой 20 кг и длиной 2.5 м катаются дети. Масса первого ребенка 25 кг второго -35 кг. Определите где находится точка опоры
Видимо, раз они катаются, имеется в виду, что на точку опоры с обеих сторон действуют равные моменты, иначе бы одна сторона просто перевесила. Момент, напомню, равен произведению массы на плечо, но тут усугубляется это всё собственной массой качелей.Допустим, от первого ребёнка точка опоры в Х м, тогда от второго - в 2.5 - Х. Момент, создаваемый первым ребёнком: 25*Х, вторым - 35*(2.5-Х). Качели также делятся в пропорции Х и 2.5-Х, но их масса распределена в длину - будем считать, что она сконцентрирована в середине отрезка, т.е. Их плечи будут в два раза меньше, чем у соответствующих детей. Тогда массы отрезков качелей, соответственно, 20*Х/2.5 и 20*(2.5-Х)/2.5, плечи Х/2 и (2.5-Х)/2. Запишем создаваемые ими моменты:
М1= 20*Х/2.5 * Х/2 = 4*X^2
М2= 20*(2.5-Х)/2.5 * (2.5-Х)/2 = 4*(2.5-X)^2 = 4*(6.25 - 5*X + X^2) = 25 - 20*X + 4*X^2
Теперь записываем общее равенство для моментов:
25*Х + 4*X^2 = 35*(2.5-Х) + 25 - 20*X + 4*X^2
Переносим всё, например, влево:
25*Х + 4*X^2 - 70 + 35*X - 25 + 20*X - 4*X^2 = 0
80*X - 95 = 0
X = 95/80 = 19/16 = 1,1875 м
Это, напомню, длина в метрах от первого, более лёгкого мальчика.
К концам горизонтального рычага приложены направленные вниз силы 15Н и 10Н. Точка опоры находиться на 10см ближе к одному концу рычага, чем к другому. Какова длина рычага, если он находится в равновесии?
Уравнение равновесия рычага такое:F1 · L1 = F2 ·L2
Понятно, что точка опоры должна находиться ближе к большей силе.
Длина рычага L = L1 + L2
-
Дано:
F1 = 15 H
F2 = 10 H
L2 - L1 = 10см
L =?
-
Из условия L2 - L1 = 10см получим L1 = L2 - 10
Из условия L = L1 + L2 получим L = 2L2 - 10, откуда L2 = 0.5L + 5,
Тогда L1 = 0.5L - 5
Подставим полученные результаты в уравнение равновесия
F1·(0.5L - 5) = F2·(0.5L + 5), откуда
L = 10·(F1 + F2)/(F1 - F2)
-
L = 10·(15 + 10)/(15 - 10) = 10·25/5 = 50(см)
-
Ответ: длина рычага 50см
На концах рычага действуют силы 4Н и 20Н. Длина рычага 1,5 м. Где находится точка опоры, если рычаг находится в равновесии?
Допустим, на левый конец рычага действует сила 4Н, а на правый - 20Н, Точка опоры приложена к рычагу в точке, отстоящей на расстоянии х от левого конца. Составим сумму моментов сил относительно точки опоры, которая должна равняться нулю, так как рычаг находится в равновесии:4х-20(1,5-х)=0
Решением этого уравнения будет х=1,25 (м) - расстояние до точки опоры от левого конца,
1,5-1,25=0,25 (м) = 25 см - расстояние до точки опоры от правого конца