На концах рычага действуют силы 100 Н и 300 Н. Длина рычага 1 м. Нужно поставить опору, чтобы рычаг был в равновесии.

Здесь используем золотое правило механики.
Момент силы, вращающей рычаг по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей рычаг против часовой стрелки.
M1=M2
d1*F1 = d2* F2, где d1 и d2- плечи сил (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения, а М1 и М2- моменты сил)
 
Получаем, что
F1/F2= d2/d1
d2/d1=3/1
т.е. Теперь делим рычаг НА 4 ЧАСТИ (3+1=4)
1/4= 0.25 (м)
т.е. Опора должна располагаться на расстоянии 25 см от того конца рычага, на которые действует сила в 300 Н и на расстоянии 75 см от того конца, где действует сила в 100 Н 

Отрезок однородной проволоки подвешен за середину. Изменится ли (и если изменится, то как) равновесие рычага, если левую половину сложить вдвое (см. Рисунок)? Отвел поясните.

В первом случае равновесие будет из уравнения суммы моментов относительно точки О. См. Рис. Во вложении
F1*a-F1*a=0
Во втором случае равновесия не будет
F1*a/2-F1*a=-F1/2
Рычаг повернется так, как нарисовано на третьем рисунке.

---

Центр массы сместится. Если до этого длина каждой части была равна и центр массы был в середине, то после сгибания в согнутой части центр массы сместится, поэтому перевесит прямая часть проволоки

Длина горизонтально установленного рычага 52 см. На концах его уравновешены грузы весом 2,5 и 4,0 Н. Найти плечи этих сил. Какова сила давления на точечную опору?

Запишем правило моментов:
М1=М2
F1L1=F2L2
2,5*L1=4,0*L2 и L1+L2=0,52
решаем систему из двух уравнений: из второго L2=0,52-L1 подставим в первое уравнение 2,5*L1=4,0*(0,52-L1) Решаем его и получаем L1, затем находим L2

L= 52 см
F1=2.5
F2=4
плечи L1;L2=L-L1= 52-L1
уравнение моментов
M1=M2
L1*F1 =L2*F2
L1*2.5 = (52-L1)*4
L1 = 32 см
L2= 52-32 =20 см
давление на опору Fo
уравнение моментов относительно правого (2) конца рычага
M1 = Mo
F1*L = Fo*L2
Fo = F1 * L/L2 =2.5 *52/20 =6,5 H

Что общего у руки и весла, как у рычагов?

Как ни странно, и весло и рука - это рычаги
с веслом все очевидно, есть точка опоры, рукоятка и лопасть
в руке точкой опоры служит сустав, ручкой - сухожилие, веслом - нисть (или локоть)
в руке момент силы передается мышцами через сухожилие, плечо силы меньше чем плечо нагрузки на руку
аналогично и в весле - плечо прикладываемой силы меньше чем плечо внешней силы

На концах рычага действуют силы 4 и 24Н. Расстояние от точки опоры до меньшей силы 6 см. Определите расстояние от точки опоры до большей силы.

Дано: F1=4Н, F2=24Н, l1=6см Найти: l2
Условие равновесия рычага F1*l1=F2*l2
4*6=24*x
x= 24/24
x= 1 см