Для равномерного подъема груза при помощи подвижного блока была применена сила 640 Н. Каков вес груза? На какую высоту поднимется свободный конец нити, пропущенный через подвижный блок, при подъеме груза на 5 м?

При использовании подвижного блока мы выигрываем в силе, но проигрываем в расстоянии. Если применена сила 640 Н, то вес=2*640=1280;
S=2*5=10 м

Через неподвижный блок перекинута нить. К концам нити подвешены грузы 2 и 3кг. Первоначально грузы находились на одном уровне. Определить расстояние между ними через 2с.

Разница в массах и соответственно, в весе грузиков вызывает ускорение, численно равное:
a = (m2g - m1g)/(m1 + m2) = g(m1 - m2)/(m1+m2)
Высота первого груза меняется со временем по закону:
h1 = h0 + at^2/2
Высота второго груза меняется со временем по закону:
h2 = h0 - at^2/2
Расстояние между грузами меняется со временем следующим образом:
l = h1 - h2 = at^2/2 + at^2/2 = at^2 = g(m1 - m2)*t^2/(m1+m2)
Через две секунды расстояние будет
l = 10*1*4/(2+3) = 40/5 = 8 м

Через блок, массой которого можно пренебречь, перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы одинаковой массы (машина Атвуда).
Если к правому грузу добавить перегрузок № 2, система приходит в движение. Время движения фиксируется с помощью электронного секундомера.
По приведенным экспериментальным данным определить:
1) На пути 0,2 м грузы будут двигаться с ускорением …
2) В конце пути l1 = 10 см грузы будут иметь скорость …
3) Если правый груз пройдет расстояние 20 см, система будет иметь кинетическую энергию W … Дж при массе перегрузка m = 12 г и массе больших грузов М = 85 г.

Δm=0.012 кг    m=0.085 кг    g=10 м/с²
==========
1) L=0.2 м  t=0.78 c    Ускорение по опытным данным
a=2*L/t²=2*0.2/0.78²=0.6 м/с²
Теоретическое ускорение
Для левого груза T-m*g=m*a
Для правого с довеском (m+Δm)*g-T=(m+Δm)*a
a=Δm*g/(2*m+Δm)=0.012*10/(2*0.085+0.012)=0.66 м/с² (расчетное близко к экспериментальному)
2) L=0.1 м    v1=√(2*L*a)=√(2*0.1*0.6)=0.35 м/с
L2=0.2 м     v2=√(2*0.2*0.6)=0.49 м/с
3) W=W1+W2=m*v2²/2 + (m+Δm)*v2²/2=(v²/2)*(2*m+Δm)=
=(0.24/2)*(2*0.085+0.012)=0.022 Дж
===================

При использовании какого блока мы проигрываем в пути? Во сколько раз?
Есть подвижный и неподвижный блоки

При использовании подвижного блока. Так как подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза, то мы проигрываем в пути в два раза. ( Золотое правило механики: "Ни один простой механизм не даёт выигрыша в работе. Во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии").

Даст ли подвижный блок в случае, представленном на рисунке, выигрыш в силе в 2 раза? Как изменяется по модулю прикладываемая к тросу сила F по мере поднятия груза? Трение и вес блока не учитывать.

Нет не даст. Дело в том, что сила это вектор. Поэтому при сложении сил необходимо учитывать их направление действия. Смотрите приложенный рисунок. Т. К. Блок либо неподвижен, либо перемещается с постоянной скоростью, то сумма сил, действующих на блок =0. На блок действуют три силы. Вес груза = mg.  И две силы со стороны ветвей троса. Любые две силы можно сложить векторно. Поэтому на Вашем рисунке две силы со стороны тросов заменены одной силой Fб равной по модулю mg. На рисунке справа дана схема сложения сил возникающих в тросах при некотором угле их раскрытия (угол альфа). Из конца вертикальной синей стрелки проведены  прямые параллельные ветвям троса. Точки пересечения этих прямых с ветвями тросов дают концы (стрелки) сил, действующих на блок со стороны тросов. Таким образом получается, что чем больше угол альфа тем большие усилия возникают в тросах при неизменном весе поднимаемого груза. Так что максимальный выигрыш в силе возможен тогда, когда ветви (участки) троса вертикальны.
При поднимании груза угол альфа увеличивается и значит растет сила F.