Маятник осуществляет свободные колебания. Изменяется ли при этом сила натяжения нити маятника?

Сила натяжения нити при колебаниях непостоянна.
Натяжение нити будет меняться, т.к. меняется линейная скорость маятника, и соответственно и его ускорение, в связи с тем, что его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую, и наоборот. А согласно закона Ньютона ma=T-mg (a, Т,g, взяты в виде векторов)

Шарик массой 500 г, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 1 м, совершает колебания в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения нити в момент, когда она образует с вертикалью угол 60 градусов. Скорость шарика в этот момент 1,5 м.

Нужно ещё знать амплитуду колебаний.  
А сам расчёт элементарен. Максимум натяжения - когда шарик в самой нижней точке траектории. Тогда на нить действует вес шарика (который понятно какой) и центробежная сила, которая равна mv²/L. Скорость (точнее - сразу квадрат скорости) ищется из равенства потенциальной энергии шарика при максимальном отклонении (вот когда амплитуда и нужна) кинетической энергии в нижней точке.

Два груза массы которых равны 0.1кг и 0.2кг, связаны нитью и лежат на шладкой поверхности. К левому грузу приложена сила 0.5Н, к правому - в противоположном направлении сила 0.3Н. Чему равна сила натяжения нити? Изменится ли натяжение нити, если силы поменять местами?

Составляем систему :
T-F1=M1a
F2-T=M2a
далее составляем пропорцию
T-F1/М1=F2-T/М2
(Т-F1)*M2=(F2-T)*M1
T=F2M1+F1M2/M1+M2
T=0,4
Если поменяешь местами сила натяжения не изменится
Сис-ма уравнений m\( \left \{ {{ m_{1}a = F_{1}-T } \atop {m_{2}a = -F_{2}+T }} \right. \), \( m_{1}/ m_{2}= F_{1}-T/T- F_{2} \), \( T= m_{2} F_{1}+ m_{1} F_{2}/ m_{1}+ m_{2} \) подставляем значения T=0.4

Груз массой М = 300 г висит на нити. В него попадает и застревает в нем пуля массой m =10 г, летящая горизонтально с некоторой скоростью. Груз с застрявшей пулей делает полный оборот в вертикальной плоскости, причем его импульс в верхней точке в n = 2 раза меньше, чем в нижней. Найдите силу натяжения нити в нижней точке (в ньютонах).

(M+m)a=T-(M+m)g
T=(M+m)(a+g)
ЗСЭ
(M+m)V1^2=(M+m)V2^2+(M+m)gh     Где h=2l, l-длина нити
ЗСИ 
(M+m)V1/2=(M+m)V2  следует V1/2=V2
подставим и найдем отношение V1/l      l-есть радиус окружности в вертикальной плоскости
V1^2/2-V1^2/8=2gl
3/8V1^2=2gl
V1^2/l=16gl/3
все теперь подставим во второй закон ньютона
T=(M+m)(16g/3+g)= 19,6333(333)

стержень АВ прикреплен к вертикальной стенке следующим образом: нижний конец В скреплен со стеной шарнирно, а верхний конец А связан со стеной невесомой и нерастяжимой нитью. Углы, образованные нитью и стержнем с вертикальной стеной равны 30 градусов. Масса стержня 1 кг. Найдите силу натяжения нити Т.

Суммарный момент сил относительно точки А должен быть равен нулю. Если длина стержня L, то:
\( mg\sin\alpha\cdot\dfrac L2=T\cos\alpha\cdot L\\ T=\dfrac12mg\,\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac12\cdot1\text{ kg}\cdot9.8\text{ N/kg}\cdot\dfrac1{\sqrt3}=2.83\text{ N} \)