Тело массой 1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной 1 м. Когда тело проходит нижнюю точку, сила натяжения нити Т=80 Н. В момент, когда скорость тела направлена вертикально вверх, нить обрывается. На какую высоту h относительно нижней точки окружности поднимается тело?

1) определим скорость тела в нижней точке окружности
по второму закону Ньютона:
T - mg = ma,
T - mg = (m v²)/L,
v = sqrt((2 (T - mg))/m) = √70 м/c
2) определим скорость тела в момент отрыва v’
по закону сохранения энергии
(m v²)/2 = mgL + (m v’²)/2,
v’ = sqrt(v² - 2gL) ≈ 7 м/c
3) определим высоту, на которую поднялось тело после отрыва относительно его начального положения
по закону сохранения энергии
(m v’²)/2 + mgL = mgh,
h = (v’²/(2g)) + L = 3.45 м 

Груз массой 0,5 кг, привязанный к нерастяжимой невесомой нити, другой конец которой закреплен, свободно вращается в вертикальной плоскости. Найти, на какую величину сила натяжения нити в верхней точке отличается от силы натяжения в нижней точке траектории.

1) в верхней точке
m*a1=m*v^2/r=mg+T1
2) в нижней точке
m*a2=m*u^2/r=T2-mg
з) закон сохр энергии
mu^2/2- mv^2/2 = mg*2r
**************************
m*v^2/r=mg+T1
m*u^2/r=T2-mg
mu^2/2 - mv^2/2 = mg*2r
**************************
m*u^2/r - m*v^2/r =(T2-mg) - (mg+T1)
mu^2/2 - mv^2/2 = mg*2r
**************************
m*u^2/r - m*v^2/r =(T2-T1) - (2mg)
mu^2/r - mv^2/r= mg*4
**************************
mg*4=(T2-T1) - (2mg)
**************************
(T2-T1) = (6mg)=6*0,5*10 H=30H

К потолку движущегося лифта на нити подвешена гиря массой 1 кг. К этой гире привязана другая нить, на которой подвешена гиря массой 2 кг. Найдите силу натяжения верхней нити, если сила натяжения нити между гирями равна Т0=10Н

F1=3*a
F2=2*a
Делим первое на второе
F1/F2=1.5
F1=F2*1.5=10*1.5=15 (Н)
1) выполняем чертеж (смотреть приложение), учитывая, что a1 = a2 = a (пусть нить нерастяжимая), T1 = T2 = T0 (по 3 закону Ньютона)
2) пишем уравнения динамики для системы тел
(1) T - m1g - T0 = m1a
(2) T0 - m2g = m2a
складываем (1) и (2)
T - g (m1 + m2) = a (m1 + m2)
следовательно, ускорения грузов равны
a = (T - g (m1 + m2))/(m1 + m2) = (T/(m1 + m2)) - g
подставляя выражения для ускорения в (2), получаем
T = (T0 (m1 + m2))/m2 = 15 H

На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела, соединённые невесомой, нерастяжимой нитью. Масса левого тела m = 1 кг, правого — М = 2 кг. К системе прикладывают силу F = 3 H, направленную вдоль нити. В первом случае сила приложена к правому шару и тянет систему вправо, а во втором — к левому шару и тянет систему влево. Определите силы натяжения нити в обоих случаях.

Ускорения у шаров одинаковые, так как нить нерастяжимая и невесомая, а силы натяжения одинаковы по 3 закону Ньютона
пишем уравнения динамики в первом случае
F - T1 = Ma1
T1 = ma1
решая эту систему, находим T1 = (m F)/(m + M)
пишем уравнения динамики для второго случая
F - T2 = ma2
T2 = Ma2
решая эту систему, находим T2 = (M F)/(m + M)
считаем. С чертежом, наверное, разберетесь
T1 = 3/3 = 1 H
T2 = 6/3 = 2 H

Медный кубик с гранью длиной 10 см подвешен на нити и погружен в воду. Какая часть кубика выступает над водой, если сила натяжения нити равна 81 H?

• пусть а - длина ребра кубика, х - длина погруженной части кубика, тогда [а - x] - длина не погруженной части кубика
• напишем уравнение динамики в проекции на вертикально вверх направленную ось
○ T + Fa - mg = 0
○ T + p(в) g Vпогр - p(м) V g = 0
○ T + p(в) g x³ - p(м) a³ g = 0
○ x = ³√((p(м) а³ g - T)/(p(в) g))
• тогда ответ на вопрос задачи:
◘ (a - x)/a = 1 - (x/a) = 1 - (³√((p(м) а³ g - T)/(p(в) g))/a)
◘ во избежание вычислительных ошибок посчитаем длину погруженной части ребра кубика отдельно
○ x = ( (8900*10^(-3)*9.8 - 81)/(1000*9.8) )^(1/3) ≈ 0.086 м
○ (a - x)/a = 1 - (0.086/0.1) = 0.14

---

Дано
а=10см=0,1м
ρм=8900кг/м³ (плотность меди)
ρв=1000кг/м³ (плотность воды)
F=81H
Найти
H
Объём кубика Vм=a³
Вес кубика в воздухе Fт=mм*g=ρм*Vм*g=ρм*g*a³
если нижняя грань кубика погружена в воду на глубину h, то объем вытесненной кубиком воды Vв=a²*h, а сила Архимеда Fa=mв*g=ρв*Vв*g=ρв*а²*h*g
F=Fт-Fa
F= ρм*g*a³ - ρв*а²*h*g= =g*a²( ρм*a- ρв*h)
ρм*a- ρв*h = F/( g*a²)
ρв*h = ρм*a - F /( g*a²)
h=( ρм*a - F /( g*a²))/ρв
h= ( ρм*a - F /( g*a²))/ρв = ( 8900кг/м³ *0,1м - 81H /( 10 H/кг*0,1²м²))/ 1000кг/м³= ( 890кг/м² - 81 / 0,1 м²/кг)/ 1000кг/м³= ( 890кг/м² - 810кг/м²)/ 1000кг/м³=0,08м
H=а-h=0,1м-0,08м=0,02м=2см