Чтобы находящиеся на наклонной плоскости с углом наклона 45 тела оставались в покое, плоскость следует двигать в горизонтальном направлении (трение не учитывать) с модулем ускорения....?

чтобы находящиеся на наклонной плоскости с углом наклона 45 тела оставались в покое, плоскость следует двигать в горизонтальном направлении (трение не учитывать) с модулем ускорения.
На тело на наклонной плоскости действуют 2 силы
N+m*g=m*a ( векторная запись)
ОУ:  N*cosa=m*g (1)
по теореме Пифагора N=m*√(g^2+a^2)
m*cosa*√(g^2+a^2)=m*g
cos^2a*(g^2+a^2)=g^2
a^2= g^2*(1-cos^2a)/cos^2a
а=g*sina/cosa=g*tg45=g
Ответ a=g
можно еще проще
ОX:  N*sina=m*a  (2)
разделим (2) на (1)
tga=a/g
a=g*tga   tg45=1
a=g - ответ

На наклонной плоскости с углом наклона 21 лежит тело. Какое наименьшее ускорение необходимо сообщить наклонной плоскости в горинтальном направлении, чтобы лежащее на ней тело свободно падало

Перейдем в систему отсчета, связанную с плоскостью. Вертикальная составляющая ускорения движущегося тела должна равняться g, полное ускорение направлено под углом 21°, горизонтальная составляющая равна искомому значению. Тогда
\( \frac{g}{a} =tg \alpha \\ a=\frac{g}{tg \alpha }=g \,ctg \alpha \\ a=9.8ctg21^0=25.5 \)
Ответ: ≈25,5 м/с²

С каким ускорением должна двигаться наклонная плоскость, чтобы груз лежащий на ней начал двигаться вверх?

Чтобы решать задачи в неинерциальных системах отсчета с помощью законов ньютона используют силу инерции -m*a
для тела на наклонной плоскости, твижущейся с ускорением a
m*0=mg+N+(-ma)+Fтр - векторная запись
в проекции на плоскость движения
m*0=m*g*sin(alpha)+0-ma*cos(alpha)+N*мю
в проекции на ось, перпендикулярно плоскости движения
m*0=-m*g*cos(alpha)+N-ma*sin(alpha)+0
******************************
ma*cos(alpha)=m*g*sin(alpha)+N*мю
N=m*g*cos(alpha)+ma*sin(alpha)
****************************************
ma*cos(alpha)=m*g*sin(alpha)+мю*m*g*cos(alpha)+мю*m*a*sin(alpha)
a*(cos(alpha)-мю*sin(alpha))=g*(sin(alpha)+мю*cos(alpha))
a=g*(sin(alpha)+мю*cos(alpha))/(cos(alpha)-мю*sin(alpha)) - это ответ

Тело массой 200 кг равномерно тянут с силой 1800 Н вверх по наклонной плоскости, составляющей с вертикалью углом 85. С каким ускорением тело будет соскальзывать с этой плоскости, если его отпустить?

На тело, лежащее на наклонной плоскости с углом α, влекомое силой тяги F действуют сила трения Fтр и тангенциальная составляющая реакции опоры, направленная вниз по склону и равная mgSinα
Коль скоро под действием силы тяги F = 1800 Н тело тащат с постоянной скоростью, имеет место равенство сил:
F = Fтр + mgSinα
Отсюда можно выразить величину силы трения:
Fтр = F - mgSinα
Если тело отпустить, оно поползёт вниз под действием двух сил:
f = mgSinα - Fтр
если mgSinα > Fтр = F - mgSinα
или
2mgSinα > F    (1)
Подставив в уравнение для f значение Fтр = F - mgSinα получим:
f = mgSinα - F + mgSinα = 2mgSinα - F
Откуда можно найти ускорение, с которым тело поползёт вниз по склону:
a = f/m = 2gSinα - F/m
Проверим исполнение неравенства:
2mgSinα > F
Заметим, при этом, что по условию задачи плоскость составляет с ВЕРТИКАЛЬЮ угол 85 градусов. Следовательно, угол наклона плоскости 
α = 90 - Ф = 90 - 85 = 5°
Это очень малый угол.
С таким углом тангенциальная составляющая реакции опоры крайне невелика.
2mgSinα = 2*200*10*0.0872 = 348 Н < 8000 Н
Условие (1) не выполняется, значит, тангенциальная составляющая реакции опоры меньше, чем трение скольжения. Следовательно, тело НЕ будет соскальзывать со склона ни с каким ускорением (и все наши старания по выводу формулы ускорения пропали зря).

1) условие равномерного подъема 
F1=m*g*sina+μ*m*g*cosa
μ=(F1-m*g*sina)/m*g*cosa
μ=F/m*g*cosa   -  tga    =1800 -2000*0,0872/200*10*0,9962=0,8 
коэффициент трения очень большой
для равномерного соскальзывания угол наклона должен быть
такой ччто μ=tga2
a2=54 градуса
а у нас угол только 5 градусов
значит тело скользить не будет и ускорение равно нулю

На наклонной плоскости находится легкая тележка, которая может скатываться с наклонной плоскости без трения. На тележке укреплен кронштейн с шариком массой m = 10 г на невесомой и нерастяжимой нити. До начала скатывания нить удерживалась в направлении, перпендикулярном к наклонной плоскости. Определите ускорение тележки, силу натяжения нити отвеса при свободном скатывании тележки, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30 °. (Силой трения тележки о плоскость пренебрегаем).

На шарик дейсвует две силы сила натяжения и сила тяжести
Их равнодействующая сила сообщает шарику такое же ускорение, которое имеет тележка,  то есть F=m*a
Здесь движется по наклонной плоскости без трения, с ускорением, равным a=g*sinα, значит m*a=m*g*sinα - это как раз направления проекции тележки (сила тяжести). Следовательно, Т НА ЭТО ЖЕ НАПРАВЛЕНИЕ РАВЕН 0
Поскольку Т направлена в сторону нити, то получаем, что нить перпендикулярно наклонной плоскости, то есть α=β отсюда Т=m*g*cosα