По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а=30градусов, толкают вверх брусок, сообщив ему начальную скорость u0=5м/с, поднявшись на некоторую высоту, брусок соскальзывает вниз, найдите скорость бруска при прохождении им исходной точки, если коэффициент трения бруска о плоскость 0,2

Распишем все силы действующие по осям:
\( OY:N-mg\cos\alpha=0\\N=mg\cos\alpha\\OX:F_{mp}+mg\sin\alpha=ma\\F_{mp}=\mu N=\mu mg\cos\alpha\\\mu mg\cos\alpha+mg\sin\alpha=ma\\a=\mu g\cos\alpha+g\sin\alpha\approx 7 \)
Найдем высоту подъема
\( l=\cfrac{v^2-v_o^2}{a}\\l=\cfrac{v_o^2}{a}\\h=l\sin\alpha=\cfrac{u_o^2\sin\alpha}{a}\approx 2 \)
Далее используя закон сохранения энергии, найдем скорость в начальной точке:
\( 2gh=v^2\\v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 2}\approx 6,3 \)
Ответ: 6,3 м/с

По наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом, равномерно скользит ящик с песком массой 10 кг со скоростью 1 м/с. После попадания в него пули массой 10 г, летящей горизонтально, ящик остановился. Найдите скорость полета пули.
(1150 м/с)

Делаем рисунок наклонной плоскости и ящика ось ОХ направляем вдоль
наклонной плоскости вниз
 в проекциях на эту ось
M*V - m*U*cos30 = 0
U = M*V/m*cos30=10*1/0,01*0,86=1162,79 м/с

Маленький брусок находится на вершине наклонной плоскости, длинной 26м и высотой 10м. Коэфициент трения 0,45. Какую минимальную скорость нужно сообщить бруску чтобы он достиг основания наклонной плоскости. g=10

Закон ньютона, направление оси  совпадает с направлением движения
mg*sin(alpha)-mg*cos(alpha)*k=ma
a=g*(sin(alpha)-cos(alpha)*k)=10*(10/26-корень(26^2-10^2)/26*0,45)= -0,30769 - число отрицательное
значит телу нужно придать скорость, чтобы оно съехало до низа
l=v^2/2a
v=корень(2*l*|a|) = корень(2*10*|10*(10/26-корень(26^2-10^2)/26*0,45)|) = 2,480695 м/с ~ 2,48 м/с ~ 2,5 м/с

По наклонной плоскости длинной 4м и высотой 1,6м из состояния соскальзывает тело. Определите скорость тела в конце наклонной плоскости. (Трением пренебречь)

Второй закон Ньютона на тело:
В векторном виде: \( \vec N+ m\vec g= m \vec a \)
В проекциях на ось, параллельную наклонной плоскости:
\( ma=mg \cdot sin \alpha \)
Отсюда:
\( a=g \cdot sin \alpha \)
Из определения синуса тупого угла: \( sin \alpha =\frac h l \)
Итак, ускорение: \( a=g\cdot \frac h l \)
Уравнения движения тела в проекциях на ту же ось:
\( \left \{ {{v=at} \atop {l=\frac{at^2}{2}}} \right. \)
Исключая время из этой системы, найдем выражения для конечной скорости:
\( v= \sqrt{2al} = \sqrt{2gl\cdot \frac h l} = \sqrt{2gh} \)
Подставим численные значения и получим ответ:
\( v= \sqrt{2\cdot 10 \cdot1,6} \approx 5,6 (m/s) \)

Брусок, находящийся на наклонной плоскости с углом наклона α (sin α = 3/5 ) и коэффициентом трения 0,2, начал движение вниз из состояния покоя. Какую скорость приобретет брусок, пройдя вниз вдоль наклонной плоскости расстояние 1,9 м?

Т. К. Тело движется(равнодействующая больше силы трения), то из динамики вытаскиваем ускорение, а из кинематики саму скорость:
2 з-н Ньютона: N+mg+Fтр=ma (векторная сумма, т. Е везде над величинами поставить вектор, кроме массы)
Ось Ox выберем по направлению ускорения (т.е. По гипотенузе наклоной плоскости), а Oy - перпендикулярно Ox.
Ox: mgsinA-Fтр=ma (1)
Oy:N-mgcosA=0
N=mgcosA
Fтр=uN (u-коэффициент трения) - Закон Амонтона-Кулона
Fтр=umgcosA (2)
Подставляем (2) в уравнение (1):
m(gsinA-ugcosA)=ma |÷m
a=gsinA-ugcosA=g(sinA-ucosA)
cosA=sqrt(1-sin^A)=4/5, поэтому будем считать, что мы его знаем.
S=(V^2-Vo^2)/2a=V^2/2a, т.к. Vo=0
V=sqrt(2a*S)=sqrt(2g(sinA-ucosA)*S)
V=sqrt(2*10м/с^2(0.6-0.8*0.2)*1.9м)=16.72м/с