Вверх по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 45° пущена шайба со скоростью 12 м/с. Через некоторое время она останавливается и соскальзывает вниз. С какой скоростью она вернется в исходную точку? Коэффициент трения шайбы о плоскость 0,8.

1) уравнение закона сохранения энергии для подъема шайбы:
(m v0²)/2 = mgh + Aтр, где Aтр - работа силы трения
v0² = 2gh + u gcosα S, где S - длина той части горки, по которой проехалась шайба. Ее можно выразить как S = h / sinα. С учетом этого, получаем:
v0² = 2gh (1 + u ctgα),
откуда высота подъема шайбы равна:
h = v0² / 2g (1 + u ctgα).
2) уравнение закона сохранения энергии для спуска шайбы:
mgh = (m v²)/2 + Aтр.
аналогично выполняя преобразования, находим, что искомая скорость шайбы равна:
v = sqrt(2gh (1 - u ctgα).
с учетом выражения для h, получаем:
v = sqrt( (v0² (1 - u ctgα)) / (1 + u ctgα) ).
v = sqrt( 144*(1 - 0.6)/1.6) = 6 м/c

Брусок массой mO скользит по наклонной плоскости, высота которой h и угол наклона? И попадает в тележку массой mP. Какую скорость будет иметь после этого тележка?

Работаем законом сохранения импульса и энергии. Найдем импульс бруска до удара из ЗСЭ
\( \frac{p^2}{2m} = mgh\\ p = m\sqrt{2gh} \)
Такой же суммарный импульс будут иметь брусок и тележка после соударения. Теперь надо найти импульсы после удара. Будем считать его абсолютно упругим. Запишем законы сохранения энергии и импульса и найдем ответ
\( \frac{p^2}{2m} = \frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2M}\\ p = p_1+p_2\\\\ p^2 = (p-p_2)^2+\frac{m}{M}p_2^2\\\\ (1+m/M)p_2^2 - 2p_2p = 0\\\\ p_2 = \frac{2p}{1+m/M}\\ v_2 =p_2/M = \frac{2p}{m+M}=\frac{2m\sqrt{2gh}}{m+M} \)

Безграничная наклонная плоскость, составляет угол α=30 с горизонтом. На нем покоится монета. Коэффициент трения монеты о плоскость μ=√3/3. Монете сообщили начальную скорость v0, так, что вектор начальной скорости параллелен наклонной плоскости и наклонен под углом β=α=30 вниз к горизонтали. Спустя достаточно большое время, монета приобрела скорость v=3 см/с. Найдите величину скорости v0.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вниз вдоль плоскости (Ось x), и на ось, которая сонаправлена скорости тела в любой момент времени. Пусть угол между скоростью тела и горизонталью в произвольный момент времени составляет β’, тогда
\( \displaystyle m\frac{\Delta v_x}{\Delta t} = mg\sin\alpha - \mu m g\cos\alpha\sin\beta’\\\\ m\frac{\Delta v}{\Delta t} = mg\sin\alpha\sin\beta’ - \mu m g\cos\alpha \)
Учтите, что здесь угол бета-штрих - это функция от времени, но никак не постоянная величина. В начальный момент бета равен 30 градусов. Здесь уже сразу используется выражение для силы трения скольжения на наклонной плоскости (мю эм же косинус альфа) и корректно учтены проекции. Условие задачи и параметры подобраны так, что μ равен тангенсу угла наклона плоскости, и это надо использовать, иначе решать задачу будет в разы сложнее. Итак, имеем
\( \displaystyle m\frac{\Delta v_x}{\Delta t} = mg\sin\alpha(1-\sin\beta’)\\\\ m\frac{\Delta v}{\Delta t} = mg\sin\alpha(\sin\beta’ - 1) = -\displaystyle m\frac{\Delta v_x}{\Delta t}\\\\ \Delta v = -\Delta v_x \)
Итак, мы получили важное соотношение для приращения проекции скорости и полной скорости. Теперь подумаем. В начале полная скорость была равна v0 (ее надо найти), а в конце станет v. Проекция на ось x в начальный момент равна v0 sinβ, а в конце будет тоже v, так как очевидно, что после прошествия большого промежутка времени скорость поперек плоскости гасится трением и остается только скорость вдоль плоскости. Поэтому, суммируя все приращения скорости мы получим
\( \displaystyle \Delta v = -\Delta v_x\\ (v-v_0) = -(v-v_0\sin\beta)\\ v_0 = \frac{2v}{1+\sin\beta} = \frac{4v}{3} = 4 (m/s) \)

Тело без начальной скорости движется по наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости 35 м, длина 400 м. Коэффициент сопротивления движению 0.1. Определите скорость тела в конце наклонной плоскости?

Дано: высота наклонной плоскости 35 м, длина 400 м.
Угол наклона заданной плоскости равен:
α = arc sin (35/400) =  0,087612 радиан = 5,0198°. 
Рассчитаем минимальный угол αmin, при котором тело двигаться не будет:  αmin = arc tg k = arc tg 0.1 = 5,711 °.
Ответ: тело не будет двигаться по заданной наклонной плоскости при коэффициенте трения к = 0,1.

На гладкую наклонную плоскость с углом наклона a=30 градусов положили небольшое тело, которое начало скользить вниз. Определите скорость тела в тот момент, когда оно прошло путь s=92 см.

Можно решить несколькими способами, но проще всего будет с помощью закона сохранение полной механической энергии, так как тут нет диссипативных сил (сила трения в частности), то систему можно считать замкнутой
Мы сами выбираем откуда отсчитывать высоту для Eп, поэтому, когда тело пройдет 92см, высота будет равняться нулю
Закон сохранение полной механической энергии: Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2
Eк1 = 0, так как скорость в начале равна нулю, Eп2 = 0, так как h = 0
mgh = mv^2\2
gh = v^2\2
v^2 = 2gh
v = корень из 2gh
Если начертить рисунок, то увидим, что h это противолежащий катет и он равен LSina
v = корень из 2gLSina
v = корень из 2 * 10 * 0,92 * sin30 = 3м\с