Брусок массой 2 кг скользит вниз по наклонной плоскости с ускорением 2 м/с2. Угол наклона плоскости 30 градусов. Изобразите на чертеже все силы, действующие на брусок, и определите чему равна равнодействующая этих сил.

Коэффициент трения не дан, значит его учитывать не будем
запишем 2 закон Ньютона
в векторном виде
\( ma=N+mg \)
\( ma \)  это и есть та самая результирующая сила
тк нам все дано \( ma=2*4=4N \) 
силы на рисунке
сила тяжести \( mg \) направлена вниз к центру Земли
реакции опоры \( N \) направлена вверх перпендикулярно поверхности

Брусок массой m покоится на наклонной плоскости с углом наклона альфа. Чему равен модуль действующей на брусок силы трения, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен мю?

N+Fтр+Fт =ma (над каждым слагаемым вектор)
на ось х: -Fтр+mgsinα=ma
на ось у:  N-mgcosα=0 ⇒N=mgcosα
Сила трения Fтр=μN=μmgcosα

Какой скоростью должен обладать сплошной шар, катящийся без скольжения, чтобы подняться по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30 градусов, на высоту 2 м, если сила сопротивления равна 0,2 веса шара? Чему равно время подъема?

Допустим, шар катится с этой скоростью по горизонтали и затем начинает вкатываться на наклонную плоскость. Кинетическая энергия шара равнв сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений m*V^2/2+I*omega^2/2=m*V^2/2+0.4*m*R^2/2*(V/(2*pi*R)^2.
При подъема шара на высоту H=2м ’эта энергия уйдет на повышение потенциальной энергии шара m*g*H и работу преодоления силы сопротивления F=0.2*m*g  на перемещении S=H/sin(30°) A=F*S=0.2*m*g*2*H=0.4m*g*H, то есть полная энергия шара перед началом вкатывания на плоскость составит (1+0.4)*m*g*H=1.4*m*g*H.
Приравняв полную энергию шара на горизонтальной плоскости величине 1.4*m*g*H получим искомую скорость шара.
На этом изложение решения временно прекращаю - имеете возможность закончить самостоятельно, а я посмотрю.

По наклонной плоскости опускаются два одинаковых сплошных цилиндра, причем первый из них скользит без трения, а второй катится без скольжения. Найти отношение высот, на которые опустятся оба цилиндра по истечении некоторого промежутка времени, если оба начинают движение одновременно и без начальной скорости.

Кинетическая энергия движения цилиндра, двигающегося со скоростью V без трения (а значит, у него НЕ может возникнуть и вращение)
E1 = mV²/2 ;
Она перейдёт из потенциальной:
mV²/2 = mgH ;
V² = 2gH ;
Vy = Vsinφ, где φ – угол наклона плоскости;
(Vy/sinφ)² = 2gH ;
(Vy²)’ = (2gH)’sin²φ, так как sinφ = const ;
2 Vy Vy’ = 2g H’ sin²φ ;
Vy Vy’ = g Vy sin²φ ;
ay = g sin²φ = const ;
Итак, движение равноускоренное без начальной скорости:
H = ayt²/2 = g sin²φ t²/2 = g(tsinφ)²/2 ;
Кинетическая энергия вращения катящегося со скоростью v без проскальзывания цилиндра:
Eв = Jω²/2 = mR²/2 (v/R)²/2 = mv²/4 ;
Полная кинетическая энергия вращающегося цилиндра:
E2 = mv²/2 + Jω²/2 = mv²/2 + mv²/4 = 3mv²/4 ;
3mv²/4 = mgh ;
v² = [4/3] gh ;
vy = vsinφ ;
(vy/sinφ)² = [4/3] gh ;
(vy²)’ = [4/3] (gh)’sin²φ ;
2 vy vy’ = [4/3] g h’ sin²φ ;
vy vy’ = [2/3] g vy sin²φ ;
ay = [2/3] g sin²φ = const ;
Итак, движение тоже равноускоренное без начальной скорости:
h = ayt²/2 = [2/3] g sin²φ t²/2 = g(tsinφ)²/3 ;
Отношение:
H/h = [g(tsinφ)²/2] / [g(tsinφ)²/3] = 1.5 ;
ОТВЕТ: скользящий без вращения цилиндр опустится за то же время на высоту в 1.5 ниже, чем вращающийся цилиндр.

На наклонной плоскости с углом наклона 26,5 градусов, к горизонту стоит цилиндр с радиусом основания 2 см. При какой наибольшей высоте он не опрокинется?

Выше (ниже) решение не совсем понятно. Могу поподробней.  
Итак, что имеем: Цилиндр стоит на наклонной плоскости (под определённым углом). Нужно определить, на каком расстоянии нужно поставить цилиндр чтобы он не упал.  
"Центр масс" - о чём это говорит? Вот представьте, разделил мы этот цилиндр на две равные части (пополам) и поставили на туже самую плоскость таким же образом, что мы получим? Верхняя часть опрокинется, а нижняя будет стоять на месте т.е. Центр масс подразумевает что, масса верхней части и нижней будут "соосны" (будет определённый баланс).
Если записывать математически: Центр масс = \( \frac{h}{2} \).
Идём далее
Один катет радиус, второй - половина высоты? О чём идёт речь.
Тут получаем треугольник. Рисунок добавлю.
Критический угол - номинальный угол при котором цилиндр не опрокинется.
Из рисунка получаем зависимость: \( ctg \ \alpha = \) отношение центра масс \( \frac{h}{2} \) к радиусу основания \( r=2 \).
\( tg \ \alpha = \frac{ r }{\frac{h}{2}} \\ h= \frac{2*r}{tg \ \alpha } = \frac{2*2}{tg \ 26,5} =8,02275883309 \ (_M) \)