Тележка катится по наклонной плоскости. Угол между горизонтальной и наклонной плоскостями составляет 40 градусов. Каково должно быть расстояние данной катящейся тележки, чтобы увеличить скорость от 2 м / с до 3 м / сек?

Сначала, через проекцию на ось OX находим ускорение:
\( ma=mgsina \\ a=gsina \)
Затем находим время.  
\( U_k=U_0+at \\ t= \frac{U_k-U_0}{a} = \frac{U_k-U_0}{gsina} \)
И наконец находим расстояние, при прохождении которого скорость увеличилась с 2м/с до 3 м/с. :
\( S= \frac{at^2}{2} = \frac{gsina( \frac{U_k-U_0}{gsina})^2 }{2} = \frac{1}{2*9,8*sin40} = \frac{1}{12,6} =0,08 \) м.  

Упругий шар падает вертикально на наклонную плоскость со скоростью 5 м/с. На каком расстоянии шар второй раз ударится об эту плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°.

Удар упругий, значит угол падения = углу отражения
 G=9,8м/с^2…t 1,02s  
 отсюда  х(а) =5*1,02*сos30 
  у(а)=-5*1,02 sin30==
по теореме Пифагора 5*1,02=5,1

Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С какой силой нужно прижать брусок к наклонной плоскости, чтобы он на ней оставался в состоянии покоя? Масса бруска 2 кг. Длина наклонной плоскости 1 метр, высота наклонной плоскости 60 см, коэффициент трения 0,4.

Под действием гравитации брусок массы m прижат к плоскости, наклонной под углом alf с силой
f1 = mgCos(alf) и испытывает силу тяги f2 = mgSin(alf).
В задаче угла нет, но есть величина длины l и h. Они соотносятся с углом следующим образом: alf = ArcSin (h/l).
Максимальная сила трения равна fтр = k(mgCos(alf) + f) где f - добавочная сила, прижимающая брусок к плоскости.
Чтобы брусок не скользил, должно выполняться неравенство:
fтр = k(mgCos(alf) + f) >= mgSin(alf)
откуда получаем
f >= (mgSin(alf)/k - k(mgCos(alf)))/k = (mgSin(ArcSin (h/l)) - k(mgCos(ArcSin (h/l))))/k
f >= (mg(h/l) - k(mgSqrt(1 - (h/l)^2)))/k
если результат отрицательный, это значит, что силы не требуется.
m = 2 кг к = 0.4 l = 1 м h = 0.6 м
f >= ((2*10*0.6) - 0.4*(2*10*0.8))/0.4 = (12 - 0.4*16)/0.4= 14 Н
В условиях прямо не сказано, но я исходил из того, что добавочная сила направлена перпендикулярно к  плоскости и не имеет тангенциальной составляющей.

Тело массой 2 кг движется по наклонной плоскости с углом наклона 60 градусов. Чему равна сила трения, если коэффициент трения равен 0,5?

Формула м=Р/К
Дано:
m=2 кг
μ=0,5
α=60⁰
Найти: F
Решение:
Формула силы трения
F=μN
В проекциях на ось у:
N-mgsin30⁰=0
N=mgsin30⁰=0.5mg
Тогда
F=0.5*0.5mg=0.5*0.5*2*10=5 (Н)
Ответ: 5 Н

По наклонной плоскости длиной 10 м с углом наклона 30 соскальзывает тело. Какова продолжительность движения тела, если коэффициент трения равен 0,1

Продольная составляющая силы тяжести - она же сила тяги - равна:
mgSinα
Поперечная составляющая силы тяжести - она же сила давления тела на плоскость - равна:
mgCosα
Сила трения, направленная против силы тяги равна:
kmgCosα
Полная сила, вызывающая ускорение тела, скользящего по плоскости
mgSinα - kmgCosα = ma
Ускорение, которое испытывает тело, скользя по плоскости:
а = g(Sinα - kCosα)
Время, за которое тело с ускорением a пройдёт путь L:
t = √(2L/a) = √(2L/g(Sinα - kCosα)) = √(20/(10*(0.5 - 0.1*0.87))) = √(20/4.13) = 2.2 сек