Определите, во сколько раз сила давления тела на горизонтальную плоскость больше силы давления тела на наклонную плоскость, составляющую угол α = 60° с горизонтом.

Сила давления - это N.
Проведем ось у в обоих случаях перпендикулярно плоскости и спроецируем N.
N1=mg
N2=mg*cosα
N1/N2=1/cosα=1/1/2=2
Ответ: в 2 раза.
1) P = F / S => F = P S.
ясно, что площадь соприкосновения в обоих случаях одинакова. Тогда искомое отношение равно
x = P1 / P2 = F1 / F2, где
F1 - вес тела на горизонтальной плоскости, 
F2 - вес тела на вертикальной плоскости.
по 3 закону Ньютона вес равен силе нормальной реакции опоры N (а она в первом случае равна силе тяжести, во втором - вертикальной составляющей силы тяжести)
в первом случае: F1 = mg
во втором случае: F2 = mg cosα
тогда x = 1/cosα = 2.

Обруч вкатывается без скольжения по наклонной плоскости на максимальную высоту h=20см, пройдя путь от основания плоскости l=3. Найти время подъема

1) определим из закона сохранения энергии начальную скорость обруча (конечная скорость равна нулю, так как высота максимальная)
(m v0²)/2 = mgh,
v0 = √(2gh) = 2 м/c
2) определим ускорение обруча. По уравнению из кинематики
L = v0²/2a => a = v0²/(2L) = 4/6 ≈ 0.7 м/c²
3) определим время подъема. По уравнению из кинематики
0 = v0 - at,
v0 = at,
t = v0/a = 2/0.7 ≈ 2.86 c

Двум одинаковым телам сообщают одинаковые начальные скорости, направленные под углом α = 45° к горизонту. Одно тело движется свободно, другое по гладкой наклонной плоскости (трение отсутствует, угол наклона плоскости α = 45°). Определите отношение высот максимального подъёма этих тел.

1) максимальную высоту в первом случае можно определить из кинематического уравнения
S(y) = H = (v(y)² - v0(y)²)/(-2g).
так как скорость в верхней точке траектории равна нулю, то
H = (v0² sin²α)/2g.
2) по закону сохранения энергии
(m v0²)/2 = mgh,
h = v0²/(2g).
3) отношение высот равно
h/H = 1/sin²α = 1/0.5 = 2.

На наклонной плоскости с углом наклона плоскости к горизонту 30 градусов находится в состоянии покоя груз, сила тяжести которого 520 Н. Определите силу нормального давления груза на плоскость.

По II закону Ньютона: ma = mg+N (В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ)
Спроицируем на ось Оу(смотри рисунок):
-mg*cos\( \alpha \) + N = 0, т.к. Тело покоится
тогда N = mg* cos \( \alpha \) = 520 * cos 30° = 520* √3/2 ≈ 450,3 Н
Ответ: 450,3 Н 

На горе с углом наклона к горизонту 30 бросают горизонтально мяч с нач. 15 м/с. На каком расстоянии от точки бросания вдоль наклонной плоскости он упадет?

• вдоль горизонтальной оси мяч пролетит расстояние S = v0 t
• вдоль вертикальной оси мяч пролетит расстояние H = (g t²)/2
• с учетом того, что t = S/v0, получаем во втором уравнении:
○ H = (g S²)/(2 v0²)
• горизонтальное и вертикальное перемещение связаны с перемещением вдоль плоскости следующим образом:
○ H = L sinα
○ S = L cosα
• с учетом этого, окончательно получаем:
○ L = (2 v0² tgα)/(g cosα) = (2*225*0.577)/(9.8*0.866) ≈ 30.6 м