С наклонной плоскости скатываются без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на лёгкие колёса. Массы цилиндра и тележки одинаковы. Какое из тел скатится быстрее и во сколько раз?

Для тележки :
ma1=mg*sin(alpha)
a1=g*sin(alpha)
L=a1*t1^2/2
t1=корень(2*L/a1)=корень(2*L/(g*sin(alpha)))
для цилиндра
закон движения относительно оси, проходящей через точку касания цилиндра с поверхностью
J*a2/r = mgrsin(alpha)
где J=J0+mr^2=1/2 mr^2 + mr^2=3/2 mr^2 - момент инерции относительно выбраной оси
J*a2/r = 3/2 mr^2*a2/r = mgrsin(alpha)
3/2 mr^2*a2/r = mgrsin(alpha)
3/2*a2 = gsin(alpha)
a2=2*g*sin(alpha)/3
L=a2*t2^2/2
t2=корень(2*L/a2)=корень(2*L/(2*g*sin(alpha)/3))
t2/t1 = корень(2*L/(2*g*sin(alpha)/3)) / корень(2*L/(g*sin(alpha))) = корень(3/2)
время спуска сплошного цилиндра больше времени спуска тележки в корень(3/2) раз

С наклонной плоскости, имеющей угол наклона 40 градусов, соскальзывает тело массой 10 кг. Определите силу трения, если ускорение тела равно 2 м/с

Для начала нужно нарисовать рисунок, расставив все силы (сопротивления опоры, трения, тяжести, ускорение). Направить ось Y по силе сопротивления опоры, а X по плоскости, на которой находится тело.
По II закону Ньютона:
ma=mg+F(тр)+N (с векторами)
на ось OX: ma=F(тр)+mg*cos40
Подставим: 10*2=F(тр)+10*10*(√2/2)
20=F(тр)+50*√2
F(тр)= -50,7 Н

Два груза, массы которых m1=1кг и m2=2кгДва груза, массы которых m1=1кг и m2=2кг связаны нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. На груз m1 положен груз массой m3. В процессе движения груз m3 давит на груз m1, с силой P=7,5Н. Гладкая наклонная плоскость составляет угол a=30’ с горизонтом. Определить: а) массу 3го груза (m3) б) ускорение грузов; в) силу натяжения нити.

M2*a=T-m2*g*sin(alpha)-N*mu (проекция на направление движения)
m2*0=N-m2*g*cos(alpha) (проекция перпендикулярно направлению движения)
(m1+m3)*a=(m1+m3)*g-T
m3*a=m3*g-P
alpha=pi/6  (30 градусов = pi/6)
mu=0 (гладкая наклонная плоскость)
m3 -
a -
T -
********
m2*a=T-m2*g*sin(pi/6)
(m1+m3)*a=(m1+m3)*g-T
m3*a=m3*g-P
m3 -
a -
T -
********
m2*a=T-m2*g*sin(pi/6)
T=(m1+m3)*(g-a)
m3*a=m3*g-P
m3 -
a -
T -
********
T=(m1+m3)*(g-a)
a=g-P/m3
m2*a=(m1+m3)*(g-a)-m2*g*sin(pi/6)
m3 -
a -
T -
********
T=(m1+m3)*(g-a)
a=g-P/m3
m2*(g-P/m3)=(m1+m3)*(P/m3)-m2*g*sin(pi/6)
m3 -
a -
T -
********
T=(m1+m3)*(g-a)
a=g-P/m3
m2*(g*m3-P)=(m1+m3)*P-m2*m3*g*sin(pi/6)
m3 -
a -
T -
********
m2*(g*m3-P)=(m1+m3)*P-m2*m3*g*sin(pi/6)
m3*(m2*g*(1+sin(pi/6))-P) =P*(m1+m2)
********
m3=7,5*(1+2) / (2*10*(1+sin(pi/6))-7,5) кг  = 1 кг - это ответ
a=g-P/m3=10-7,5/1 = 2,5 м/с^2 - это ответ
T=(m1+m3)*(g-a)=(1+1)*(10-7,5)= 5Н - это ответ

Какая сила удерживает тела на наклонной плоскости?

Сила трения. Если подробнее, поверхности тела и плоскости имеют микронеровности, шероховатости, которые сцепляются при движении. Если поверхности отшлифовать как зеркало, то трение не исчезнет, потому что молекулы этих поверхностей притягиваются ведь, межмолекулярное сцепление уничтожить нельзя

Брусок соскальзывает с наклонной плоскости, при этом его скорость уменьшается. Как изменяется кинетическая энергия бруска? Потенциальная энергия? Механическая энергия?

Если брусок соскальзывает, то он стремится к состоянию покоя.
Скорость уменьшается, значит, уменьшается кинетическая энергия, потому что кинетическая энергия прямо пропорциональна скорости.
Тело обладает потенциальной энергией лишь на какой-то высоте над поверхностью земли. Если брусок соскальзывает, то высота уменьшается и становится равной нулю. То есть, потенциальная энергия тоже уменьшается.
Ну, а механическая энергия = кинетическая энергия+потенциальна энергия. Если оба вида этой энергии уменьшаются, то и механическая энергия уменьшается тоже.