Тело массой 500г начинает скользить с нулевой скоростью вдоль наклонной плоскости без трения с высоты 3 м. Какова кинетическая энергия тела у подножия наклонной плоскости?

Дано:
m= 0.5 кг
h= 3 м
Найти:
E кин.
Решение:
E кин. = mv²/2
s= (v²-v0²)/2a
3= (v²-0)/2*9.8
3= v²/ 19.6
v²=58.8
E кин. = 0,5*58,8/2= 14,7 Дж.

Горизонтально направленная сила 100 H удерживает на наклонной плоскости тело. Какую максимальную массу может иметь тело, если угол наклона плоскости равен 45 градусов, а коэффициент трения 0,5?

Проецируем силы на ось ОУ: F*sina + Fтр* sina - mg = 0
Fтр = kmg, тогда 
F*sina + kmg*sina - mg = 0, k - коэффициент трения
из последнего уравнения выражаем массу и подставляем значения:
m = (-F*sina)/g(k*sina-1) 
m = 10,93 кг.

Брусок массой 500г соскальзывает по наклонной плоскости с высоты h и, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается с неподвижным бруском массой 300г. В результате абсолютно неупругого соударения общая кинетическая энергия брусков становится 2.5 дж. Определите высоту наклонной плоскости h. Трением при движении пренебречь. Считать что наклонная плоскость плавно преходит в горизонтальную.

M1 - масса первого тела (кг), m2 - масса второго тела (кг), h - высота (м), W - кинетическая энергия (Дж), v - скорость первого бруска до столкновения (м/c), v’ - скорость обоих брусков после столкновения (м/c). В итоге имеем :
m₁gh = m₁v²/2 (по закону сохранения энергии)
v = √(2gh)
-
По кинетической энергии находим v’ :
(m1+m2)*v’²/2 = 2.5
0.8*v’² = 5
v’²= 6.25
v’ = 2.5 м/c
Теперь по закону сохранения импульса находим v :
m₁v = (m₁+m₂)v’
0.5v = 0.8*2.5
v = 4 м/c
Теперь подставляем значения в первую формулу :
4 = √(2*10*h)
16 = 20*h
h = 16/20 = 0.8 м.

С вершины наклонной плоскости из состояния покоя скользит с ускорением брусок массой m. Как изменится время движения, ускорение бруска и сила трения, действующая на брусок, если с той же наклонной плоскости будет скользить брусок из того же материала массой 3m?

По второму закону Ньютона, сумма сил, действующая на тело массой m :
oX: mgsina - Fтр = ma
oY : mgcosa = N
mgsina - wmgcosa = ma,
gsina - wgcosa = a, где  w - коэффициент трения
из данного уравнения видно, что ускорение не зависит от массы, следовательно, при замене бруска массой m на  брусок, массой 3m, ускорени останется неизменным
по формуле ускорения : а = (V - V0)/t = V/t
Т. К а = const, то и t = const
Время тоже останется неимзенным
Fтр = wN, N = mgcosa
Fтр = wmgcosa
при увеличении массы увеличится сила трения 
Ответ : 331

За какое время тяжелое тело спустится с вершины наклонной плоскости высотой h=2 и углом наклона α=45⁰, если предельный угол, при котором тело может находиться на наклонной плоскости в покое, α(пр)=30⁰.

Равнодействующая сила равна векторной сумме сил, действующих на тело: сила тяжести, сила трения и сила реакции опоры.
Если угол равен предельному углу, то равнодействующая равна нулю. В проекциях на ось х получаем
mg sinα(пр)-Fc=0
Fc=mg sinα(пр)
В проекциях на ось у
N-mg cosα(пр)=0
N=mg cosα(пр)
Поскольку Fc=μN, то
mg sinα(пр)=μmg cosα(пр)
sinα(пр)=μ sinα(пр)
μ=sinα(пр)/cosα(пр)=tgα(пр)=tg30°=1/√3
Применяя аналогичные рассуждения для второго случая, получаем
{mg sinα-Fc=F
{N-mg cosα=0
По 2-му закону Ньютона F=ma
{mg sinα-μN=ma
{N=mg cosα
mg sinα-μmg cosα=ma
g sinα-μg cosα=a
a=g(sinα-μ cosα)
Перейдем в привычную систему координат.
Высота h это путь, пройденным телом при равноускоренном движении без начальной скорости
По формуле пути
\( h= \frac{a_yt^2}{2} \\ t^2= \frac{2h}{a_y} = \frac{2h}{a sin \alpha} \\ t =\sqrt{\frac{2h}{a sin \alpha}} \\ t =\sqrt{\frac{2h}{g(sin\alpha -\mu cos\alpha)sin\alpha}} \)
\( t =\sqrt{ \frac{2*2}{10(sin45^0 - \frac{1}{ \sqrt{3} } cos 45^0 )sin 45^0 } }=\sqrt{ \frac{2*2}{10(1 - \frac{1}{ \sqrt{3} } )sin^2 45^0 } }=1.38 \)
Ответ: 1,38 с
Проверяй тщательно, а то с этим редактором формул решать тяжко
Предлагаю еще один вариант
Лист Excel "живой", можно подставить свои данные
t=sqrt(2·h/(sin(A)·(g·sin(A)-k·g·cos(A)))
t = 1.39 c