Шар скатывается с наклонной плоскости из состояния покоя с ускорением 4 м/c в течение 4 с, а затем движется равноускоренно по горизонтальной плоскости до остановки в течение 8 с. Определите путь, пройденный шаром.

a1=4
t1=4
v1=a1t
v1=16
t2=8
a2=-2
s1=a1 t1^2/2
s2=v1t2 -a2 t2^2/2
s1=4*16/2=32
s2=16*8-2*64/2=128-64=64
s=s1+s2=96Путь пройденный по наклонной плоскости:
\( S=\frac{V^2-V^2_0}{2a} \)
V - конечная скорость 
V=V0+at=4*4=16 м/с
a=4 - ускорение 
t=4 с - время
\( S=\frac{V^2-V^2_0}{2a}=\frac{16^2-0^2}{2*4}=32 \) м
Равнозамедленно в течении 8 секунд
t=8 c 
V=0
V0=16
a=?
(V-V0)/t=a
(0-16)/8=-2
\( S=\frac{V^2-V_0^2}{2a}=\frac{0-16^2}{2*(-2)}=64 \) м
Всего 64+32=96 м 

Одно тело свободно падает с высоты h, другое - без трения скольжения по наклонной плоскости с углом наклона а=30 с той же высоты. Отношение времен t2/t1 движения тел составляет.

Первое тело падает с высоты, значит его ускорение равно:
\( a=g \)
Для второго тела соскальзывающего без трения ускорение равно:
\( a=g\sin\alpha=\cfrac{g}{2} \)
То есть ускорение в 2 раза меньше, путь проходимый первым телом:
\( h=\cfrac{a_1t_1^2}{2}\\t_1=\sqrt{\cfrac{2h}{a_1}}=\sqrt{\cfrac{2h}{g}} \)
Путь проходимый вторым телом:
\( h=Lsin\alpha\\L=\cfrac{a_2t_2^2}{2}\\t_2=\sqrt{\cfrac{2L}{a_2}}=\sqrt{\cfrac{4h}{g\sin\alpha}}=\sqrt{\cfrac{8h}{g}} \)
Получаем:
\( \cfrac{t_2}{t_1}=\sqrt{\cfrac{8h}{g}}\cdot\sqrt{\cfrac{g}{2h}}=\sqrt4=2 \)
Получаем, что скольжение по наклонной поверхности займет в два раза большее время

Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости, плавно переходящей в "мертвую петлю", с высоты 6 м. Радиус петли равен 3 м. На какой высоте тело оторвется от поверхности петли? Высота отсчитывается от нижней точки петли. Трением пренебречь.

Как всегда, "условие отрыва" означает, что "сила реакции поверхности" равна нулю. Тело больше не давит на поверхность петли и движется только под действием силы тяжести. При этом оно продолжает (в данный момент времени) двигаться по окружности радиуса R. Из этого всё и получается.
Если угол между радиусом, проведенным в точку отрыва, и вертикалью, обозначить, как α, то из закона сохранения энергии
m*v^2/2 + mgR(1+cos(α)) = mgh;
или m*v^2/R  = 2mg(h/R - 1 - cos(α));
Поскольку в момент отрыва "центростремительное" ускорение равно состовляющей силы тяжести вдоль радиуса, то есть mgcos(α) (это просто второй закон Ньютона, записанный в проекции на линию, соединяющую точку отрыва с центром петли - масса*ускорение = сила, ускорение вдоль этой линии равно v^2/R, а единственная сила, действующая на тело в этот момент - это сила тяжести, равная mg и направленная вертикально вниз).
mgcos(α) = 2mg(h/R - 1 - cos(α)); 
cos(α) = (2/3)*(h/R - 1); это и есть условие отрыва. При этом тело будет находиться на высоте R*(1 + cos(α)) = 2h/3 + R/3; это 5м.

На наклонной плоскости, составляющей угол 30 с горизонтом лежит груз массой 100 кг. Коэффициент трения покоя равен 0.2 найти силу трения. Будет ли тело покоится или соскальзывать вниз.

Oy:
N=mg * cos a
Ox: mgx=mg * sin 30
:Fтр =N(mg*cos 30)*0.2
По второму закону Ньютона
mg*sin30-mg*cos 30*0.2=ma
g(sin30-cos30*0.2)=a
a=3.3 м/c^2, значит тело будет соскальзывать

Если тело находится на наклонной плоскости, то на него действует сила трения Fтр, реакция наклонной плоскости N и сила тяжести Fт. Если равнодействующая этих сил равна нулю, то тело либо находится в покое, либо движется равномерно. В прoекции на ось у:   -Fт*cos30+N=0   mg*cos30=N
на ось х (если тело не будет двигаться либо двигаться равномерно)
должно выполняться условие mg*sin30-Fтр=0 и если mg*sin30                                                   Fтр=мю*N=мюmgcos30=0.2*100*cos30=0.2*100*10*1.73/2=173[H]
mg*sin30=100*10*0,5=500[H]
Т. К. mg*sin30=100*10*0,5=500>Fтр=173, то тело будет соскальзывать вниз

По наклонной плоскости, образующей угол 10 градусов с горизонтом, втаскивают за верёвку ящик. Коэффициент трения ящика о плоскость равен 0,25. Под каким углом к горизонту следует направить верёвку, чтобы втаскивать ящик равномерно и с наименьшим усилием?

Векторная форма записи
mg+F+N+Fтр=0
в проекции на ось движения
-mg*sin(pi/18)+F*cos(x-pi/18)+0-Fтр=0
в проекции на ось перпендикулярно направлению движения
-mg*cos(pi/18)+F*sin(x-pi/18)+N+0=0
кроме того Fтр = k*N
надо найти зависимость F=F(x) и ее экстремум (минимум)
***************
-mg*sin(pi/18)+F*cos(x-pi/18)+0-Fтр=0
-mg*cos(pi/18)+F*sin(x-pi/18)+N+0=0
Fтр = k*N
***************
-mg*sin(pi/18)+F*cos(x-pi/18)-k*N=0
-mg*cos(pi/18)+F*sin(x-pi/18)+N=0
***************
-mg*sin(pi/18)+F*cos(x-pi/18)=k*(mg*cos(pi/18)-F*sin(x-pi/18))
N=mg*cos(pi/18)-F*sin(x-pi/18)
***************
-mg*sin(pi/18)+F*cos(x-pi/18) = k*mg*cos(pi/18)-k*F*sin(x-pi/18)
***************
F*cos(x-pi/18)+k*F*sin(x-pi/18) = k*mg*cos(pi/18)+mg*sin(pi/18)
***************
F*(cos(x-pi/18)+k*sin(x-pi/18)) = mg*(k*cos(pi/18)+sin(pi/18))
***************
F=mg*(k*cos(pi/18)+sin(pi/18))/ ((cos(x-pi/18)+k*sin(x-pi/18))
***************
F = const// ((cos(x-pi/18)+k*sin(x-pi/18))
найдем максимум функции y(x) = cos(x-pi/18)+k*sin(x-pi/18) и приравняем нулю
y’=-sin(x-pi/18)+k*cos(x-pi/18)=0
x-pi/18=arctg(k)
x = arctg(k)+pi/18 = arctg(0,25)+pi/18 = 0,419512 рад = 24,03624 град ~24˚ 2㤒’’