Ящик массой 100 кг удерживается на наклонной плоскости на высоте 0.5 м закрепленной у основания пружиной, жесткость которой равна 10000 Н/м. Определите длину пружины в недеформированном состоянии. Угол у основания наклонной плоскости равен 30°. Трением можно пренебречь

Введем систему координат:
ось Х направим вдоль наклонной плоскости;
ось У перпендикулярно ей.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:
Х: Fупр=m*g*sin30
Y: N=m*g*cos30
Трения согласно условию задачи нету.
Тогда, из уравнения проекции Х:
k*dx=m*g*sin30
dx=m*g*sin30/k
dx - величина сжатия пружины.
При этом сама сжатая пружина(ее длина) в данный момент равна:
l=0,5/sin30
Тогда
Длина пружины в недеформированном состоянии
L=l+dx=0,5/sin30+100*10*1/(2*10000)=1+0,05=1,05 м

Доказать, что при равномерном движении тела вниз по наклонной плоскости кооффициент трения равен тангенсу угла а

1. Cилы, действующие на тело:
тяжести, трения, реакции опоры.
2. Введем систему координат, ось Х направим по наклонной плоскости, ось У перпендикулярно.
3. Спроецируем силы на оси:
Ох: ma=mg*cos(90-a)-Fтр (так как движение равномерное, а=0).
Оу: N=mg*sin(90-a)
4. Преобразуем:
mg*sin(a)=k*N
N=mg*cos(a)
mg*sina=k*mg*cosa
sina=k*cosa
k=tg(a)
5. ДоКаЗаНо

Однородный цилиндр высотой 2 и с радиусом основания 1 м покоится на наклонной плоскости. Какой максимальный угол градусах может составлять наклонная плоскость с горизонтом?

Необходимо, чтобы перпендикуляр, опущенный из центра тяжести цилиндра (т.к. Цилиндр однородный, то центр тяжести у него будет совпадать с геометрическим центром) оставался в пределах основания цилиндра. Если сделать чертеж, то станет очевидно, что максимальный угол наклонной плоскости к горизонту, при котором еще выполняется это условие, составляет 45°.

Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С какой минимальной силой F нужно прижать к ней брусок, чтобы он оставался в равновесии? Масса бруска 4 кг, длина наклонной плоскости 2 м, высота 1,2 м. Коэффициент трения бруска о плоскость 0,3.

Если выбрать оси координат так, что ОХ параллельна плоскости, а ОУ параллельна N, то проекции сил на оси будут
OX: 0=mgSina-Ftp-FCosa
OY: 0=N-mgCosa-FSina
так как Ftp=мN=м(mgCosa+FSina)
F=(mg(Sina-мCosa))/(мSina+Cosa)
 из характеристик наклонной плоскости получим Sina=0.6 Cosa=0.8
F=14.7H

Брусок массой m соскальзывает с наклонной плоскости, которая составляет с горизонтом угол а. Какую наименьшую силу, направленную параллельно основанию наклонной плоскости, следует приложить к бруску, чтобы он оставался на плоскости в покое, если коэффициент трения между плоскостью и бруском u.

Для тела на наклонной плоскости нормальная (то есть проекция на нормаль к плоскости) составляющая реакции опоры равна
R = mgCosα
Следовательно, модуль силы трения скольжения
fтр = uR = umgCosα
Сила тяги представляет собой тангенциальную составляющую реакции опоры:
f = mgSinα
Если f < fтр, тело будет находиться в состоянии покоя без какой-либо дополнительной силы, поскольку сила тяги будет уравновешена силой трения покоя.
mgSinα ≤ umgCosα
это справедливо, когда
tgα ≤ u
или
α ≤ Arcctg(u)
При
α >  Arcctg(u)
для того, чтобы брусок находился в состоянии покоя к бруску придётся приложить искомую силу
F = f - fтр = mgSinα - umgCosα = mg(Sinα - uCosα)