Брусок скользит по наклонной плоскости с постоянной скоростью. Как изменяются механическая и внутренняя энергия бруска?

1. Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной.
Кинетическая энергия \( K = \frac{mv^2}{2} \) не изменяется в силу условия задачи v = const. Потенциальная энергия \( P = mgh \) уменьшается, так как высота бруска над поверхностью Земли всё время уменьшается.  
Вывод: механическая энергия уменьшается.
2. У нас есть закон сохранения энергии. Куда расходуется механическая энергия? Очевидно на нагрев бруска и наклонной плоскости.  
Действительно, если скорость постоянна, значит есть сила динамического трения. Если есть сила динамического трения - идёт нагрев поверхностей. Внутренняя энергия бруска зависит от его температуры.
Вывод: внутренняя энергия увеличивается.

Шар и полая сфера, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются по наклонной плоскости без проскальзывания в одной и той же высоты. У основания наклонной плоскости: 1) скорости тел одинаковы; 2) скорости шара больше; 3) скорость полой сферы больше; 4) ответ неоднозначен.

Кинетическая энергия твердого тела есть кинетическая энергия перемещения центра масс + энергия вращения вокруг центра масс (теорема Кенига)
Так как тела катятся без проскальзывания, скорость их центра масс связана с угловой скоростью вращения простым соотношением
v = ωR
Тела скатываются с одинаковой высоты и имеют одинаковую кинетическую энергию, отсюда
\( \displaystyle E = mv^2/2+Jv^2/(2R^2)\\ v^2 = \frac{2E}{m+J/R^2} \)
Так как момент инерции J у полого шара больше, чем у сплошного, его скорость будет меньше, чем у сплошного.

Брусок начинает двигаться вниз по наклонной плоскости с углом при основании a=45. Трение и сопротивление воздуха отсутствуют. Определите время за которое брусок соскользнет с наклонной плоскости, если ее длина равна 1 м.

Пусть начальная скорость бруска ноль
тогда уравнение пути имеет вид L = (a t²)/2. Следовательно, t = √((2L)/a)
так как трение отсутствует, а брусок скатывается без посторонней силы, то ускорение ему сообщается за счет вертикальной компоненты силы тяжести. То есть, a = g sinα
и тогда t = √((2L)/(g sinα))
t = sqrt(2/7.07) ≈ 0.5 c

На наклонной плоскости с углом наклона а (альфа) лежит брусок массой m. Груз массой m1 присоединен к бруску при помощи нити, перекинутой через блок. Определить натяжение нити, если коэффициент трения бруска о плоскость м (мю). Массой блока и нити пренебречь. При каких значениях м (мю) система будет находиться в равновесии? Какой будет сила давления на ось блока?

Натяжение нити для двух брусков Т
Тогда при равновесии имеем
Т=m1g
N=mg cosa  N - реакция опоры
T=mgsinl+μN=mgsina+μmgcosa=mg(sina+μcosa)
m1=msina+mμcosa
μ=(m1-msina)/(mcosa)
Теперь груз движется вниз, а брусок поднимается вверх
m1g-T=am1
T-mg(sina+μcosa)=am   a=(T-mg(sina+μcosa))/m
m1g-T=Tm1\m-m1g(sina+μcosa)
T(m1/m+1)=m1g(1+sina+μcosa)
T=(m1m/(m1+m))g(1+sina+μcosa)

Зимой во дворе Семён с папой сделали горку высотой H=2 м и углом наклона α=30α=30 к горизонту, переход с наклонной плоскости в горизонтальную получился резким. С нулевой начальной скоростью Семён скатывается с горки. Найдите путь по горизонтальному участку после горки до полной остановки если коэффициент трения везде одинаков и равен μ=0,1μ=0,1. Ответ в метрах округлите до десятых.

Семен проходит по горке путь S = H/sinα и по мере его спуска максимальная потенциальная энергия mgH переходит в кинетическую и энергию по преодолению работы силы трения. Запишем закон сохранения энергии:
mgH = (m v²)/2 + Aтр
распишем отдельно работу силы трения: Атр = Fтр S = u mg cosα (H/sinα) = u mg H ctgα
тогда из ЗСЭ получаем:
v = √(2gH (1 - u ctgα))
затем Семен едет по горизонтальной поверхности, и вся его кинетическая энергия, пока Семен не остановится, переходит в работу силы трения. Так что с одной стороны, можно снова воспользоваться ЗСЭ, а можно обратиться к кинематике (ускорение телу сообщается только за счет силы трения)
1 - кинематика - L = v²/(2a) = v²/(2 u g). L = (H/u) * (1 - u ctgα)
2 - ЗСЭ - (m v²)/2 = Aтр = u mg L. L = (H/u) * (1 - u ctgα)
считаем L = 20*(1 - 0.1*1.732) ≈ 16.5 м